Modellieren einer Verteilungsfunktion (Stochastik)

Question

Aufgabe:

Eine Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X modellieren. Dabei ist X das Ergebnis des folgenden Experimentes: Wurf einer fairen Münze, wenn Kopf, dann wähle einen zufälligen Wert, der in {1,2,3,4,5} gleichverteilt ist, bei Zahl wähle einen zufälligen Wert, der in [0,5] gleichverteilt ist.

Problem/Ansatz:

Leider keine Idee.

Answer 1

wähle einen zufälligen Wert, der in {1,2,3,4,5} gleichverteilt ist

Verteilungsfunktion ist

        D(x) = ⌊x⌋/5.

wähle einen zufälligen Wert, der in [0,5] gleichverteilt ist.

Verteilungsfunktion ist

        C(x) = x/5.

Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X

Verteilungsfunktion ist

        F(x) = ½·D(x) + ½·C(x).

Comments

Vielen lieben Dank! Kann man dann mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit begründen, dass F(x)=1/2* D(x)+1/2*C(x) gilt und wenn ja, wie?

Weiterführend noch die Frage, ob eine Dichte existiert? Dies ist, so vermute ich, nicht der Fall, da man ja F(x) nicht ableiten kann, oder?

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Kann man dann mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit begründen, dass F(x)=1/2* D(x)+1/2*C(x) gilt

Ja. Sei K das Ereignis "Die Münze zeigt Kopf" und Z das Ereignis "Die Münze zeigt Zahl". Dann ist D(x) = P(X < x | K) und C(x) = P(X < x | Z).

Weiterführend noch die Frage, ob eine Dichte existiert?

Nein, weil F nicht stetig ist.

da man ja F(x) nicht ableiten kann,

Die Funktion
        \(G(x)=\begin{cases} 0 & x<-1\\ \frac{1}{3}x+\frac{1}{3} & -1\leq x<0\\ \frac{2}{3}x+\frac{1}{3} & 0\leq x\leq1\\ 1 & 1<x \end{cases}\)
ist auch nicht differenzierbar. Trotzdem existiert die Wahrscheinlichkeitsdichte
        \(g(x)=\begin{cases} 0 & x<-1\\ \frac{1}{3} & -1\leq x<0\\ \frac{2}{3} & 0\leq x\leq1\\ 0 & 1<x \end{cases}\)