Aufgabe:
Es sei \( \lambda>0 . \) Für jedes \( t>0 \) bezeichne \( X_{t} \) die Anzahl radioaktiver Zerfälle im Zeitintervall \( [0, t] . \) Für jedes \( t>0 \) sei \( X_{t} \) poissonverteilt mit Parameter \( \lambda t \).
Es sei \( T \) der erste Zeitpunkt \( t \geq 0 \), zu dem sich ein solcher radioaktiver Zerfall ereignet.
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von \( T \). Welchen Namen hat die Verteilung von \( T \) ?
(b) Für \( x \in \overline{\mathbb{R}} \) sei \( \lceil x\rceil:=\inf \{z \in \mathbb{Z} \mid z \geq x\} \). Wie ist \( Y:=\lceil T\rceil \)
verteilt?
Mein Ansatz war folgender:
\( X_{t} \) eine poissonverteilte Zufallsvariable
Das heißt, es gilt: \( \mathbb{P}\left(X_{t}=k\right)=e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^{k}}{k !} \)
Also treten im Zeitpunkt \( [0, t] \) mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit \( k \) radioaktive Zerfälle ein.
Nun kann es eine Zeit dauern, bis der erste radioaktive Zerfall stattfindet. Diese Zeitspanne definiere ich als das Intervall \( [0, t-s] \) mit \( s \in \mathbb{R} \)
Nun kann es eine Zeit dauern, bis der erste radioaktive Zerfall stattfindet. Diese Zeitspanne definiere ich als das Intervall \( [0, t-s] \) mit \( s \in \mathbb{R} \)
Und wenn der Zeitpunkt \( [0, t-s] \) verstreicht, DANN tritt der erste Zerfall ein.
Die Verteilungsfunktion, die wir suchen, gibt die Wahrscheinlichkeit der Länge des Intervalls \( [0, t-s] \) an.
Das heißt, ich müsste eigentlich nur \( \mathbb{P}(T \leq t-s) \) berechnen, oder?
Was sagt ihr dazu? Liege ich komplett daneben? Falls ja, wie kann ich die Aufgabe a) lösen?
