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Aufgabe: Die Vereinfachung des Wurzelterms

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Mit Pythagoras folgt
\( l(x)=\sqrt{(x+8)^{2}+h^{2}}=\sqrt{(x+8)^{2}+9\left(\frac{x+8}{x}\right)^{2}}=\frac{x+8}{x} \sqrt{x^{2}+9} . \)


Problem/Ansatz: Den Summenterm muss man ja erstmal faktorisieren. Was sehe ich hier nich?

$$(x+8)^2+9(x+8)^2(x^{-1})^2= (x+8)^2(1+9(x^{-1})^2)$$

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Aloha :)

$$\sqrt{(x+8)^2+9\left(\frac{x+8}{x}\right)^2}=\sqrt{\frac{\pink{x^2}\cdot(x+8)^2}{\pink{x^2}}+\frac{9(x+8)^2}{x^2}}=\sqrt{\frac{(x+8)^2}{x^2}\cdot x^2+\frac{(x+8)^2}{x^2}\cdot 9}$$$$\qquad=\sqrt{\frac{(x+8)^2}{x^2}\cdot(x^2+9)}=\sqrt{\frac{(x+8)^2}{x^2}}\cdot\sqrt{x^2+9}=\left|\frac{x+8}{x}\right|\cdot\sqrt{x^2+9}$$Die Betragszeichen um den ersten Bruch darf man weglassen, wenn gesichert ist, dass er positiv ist. Da du über \(x\) keine Informationen gegeben hast, habe ich die Betragszeichen sicherheitshalber stehen lassen.

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