Wie wurde dieser Wurzelterm vereinfacht?

Question

Aufgabe: Die Vereinfachung des Wurzelterms

Text erkannt:

Mit Pythagoras folgt
\( l(x)=\sqrt{(x+8)^{2}+h^{2}}=\sqrt{(x+8)^{2}+9\left(\frac{x+8}{x}\right)^{2}}=\frac{x+8}{x} \sqrt{x^{2}+9} . \)

Problem/Ansatz: Den Summenterm muss man ja erstmal faktorisieren. Was sehe ich hier nich?

$$(x+8)^2+9(x+8)^2(x^{-1})^2= (x+8)^2(1+9(x^{-1})^2)$$

Answer 1

Aloha :)

$$\sqrt{(x+8)^2+9\left(\frac{x+8}{x}\right)^2}=\sqrt{\frac{\pink{x^2}\cdot(x+8)^2}{\pink{x^2}}+\frac{9(x+8)^2}{x^2}}=\sqrt{\frac{(x+8)^2}{x^2}\cdot x^2+\frac{(x+8)^2}{x^2}\cdot 9}$$$$\qquad=\sqrt{\frac{(x+8)^2}{x^2}\cdot(x^2+9)}=\sqrt{\frac{(x+8)^2}{x^2}}\cdot\sqrt{x^2+9}=\left|\frac{x+8}{x}\right|\cdot\sqrt{x^2+9}$$Die Betragszeichen um den ersten Bruch darf man weglassen, wenn gesichert ist, dass er positiv ist. Da du über \(x\) keine Informationen gegeben hast, habe ich die Betragszeichen sicherheitshalber stehen lassen.

Comments

Vielen Dank für deine tolle Antwort