Bestimmen Sie dim U1, dim U2, dim (U1+ U2) und dim (U1∩U2) und verifizieren Sie die Dimensionsformel

Question

Aufgabe:

folgende Aufgabe, die ich nicht lösen kann.

Seien V = R^3 und U1,U2 ⊂V

Bestimmen Sie dim U1, dim U2, dim (U1+ U2) und dim (U1∩U2) und verifizieren Sie die Dimensionsformel

U1 = { v e V | v = ( v1,v2,v3) v1=v2 }

U2 = { v e V | v = (v1,v2,v3) v2 = 0 }

Leider habe ich echt keinen Plan wie ich die Aufgabe angehen soll und hoffe auf einen Denkanstoss.

Würde mich echt freuen.

Für dim U1, wäre da die Basis einfach (1,1,0) und (0,0,1) ?

LG

Answer 1

Für  U1 wäre eine Basis einfach (1,1,0) und (0,0,1).  Also dim=2.

Für U2 wäre eine Basis einfach (1,0,0) und (0,0,1). Also auch dim=2.

U1+ U2 = ℝ^3 also dim=3 

U1∩U2 sind alle (x,y,z) mit x=y und y=0 also alle (0,0,z), somit

ist (0,0,1) eine Basis , also dim = 1.

Und in der Tat:

dim(U1+ U2) = dim(U1) + dim(U2) - dim(U1∩U2)

    3   =  2    +   2   -  1 .

Comments

Das ist alles klar und nachvollziehbar.

Nur eine Sache kann ich nicht nachvollziehen und zwar wie man auf die dim=3 für U1 +U2 kommt. Kannst du sagen welche Vektoren/ Basisvektoren da eigentlich addiert werden?