Vektorraum, lineare Abbildung

Question

Aufgabe:

Sei \( L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert durch \( L((2,19))=(1,-1) \) und \( L((307,2)=(1,1) \). Kann \( L \) eine lineare Abbildung sein? Überprüfen Sie, ob eine Basis \( B \) existiert, sodass die darstellende Matrix von \( L \) bezüglich \( B \) folgendermaßen aussieht:

\( \left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Wie löst man solche Aufgaben am besten?

Answer 1

Man löst solche Aufgaben so wie die entsprechende Aufgabe in einer deiner früheren Fragen.

Answer 2

Da (2, 19) und (307, 2) linear unabhängig sind, kann man deren Bilder
beliebig vorschreiben. Ein solches lineares L gibt es also.
Da die Bilder dieser Vektoren den R² aufspannen ist L
surjektiv. Eine darstellende Matrix hat dann bzgl. jeder Basis
den Rang 2, was bei der angegebenen Matrix nicht der Fall ist.

Comments

ok danke

was bedeutet dass ich die Bilder beliebig vorschreiben kann?