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Aufgabe:

Sei V V ein Vektorraum über einem Körper K K und sei L : VV L: V \rightarrow V eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft L2=L L^{2}=L .
Zeigen Sie1 \mathrm{Sie}^{1} :
a) det(L){0,1} \operatorname{det}(L) \in\{0,1\}
b) Ist λK \lambda \in K ein Eigenwert von L L , so ist λ{0,1} \lambda \in\{0,1\} .
Sei nun V=R3 V=\mathbb{R}^{3} . Wir betrachten die lineare Abbildung

P: ℝ→ ℝ3(xyz) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}  ↦ (xyy) \begin{pmatrix} x \\ y \\ -y \end{pmatrix} .


c) Zeigen Sie: P2=P P^{2}=P .

d) Bestimmen Sie ker(P) \operatorname{ker}(P) und im(P) \operatorname{im}(P) . Zeigen Sie explizit, dass R3=im(P)ker(P) \mathbb{R}^{3}=\operatorname{im}(P) \oplus \operatorname{ker}(P) .

e) Berechnen Sie det(P) \operatorname{det}(P) .
f) Berechnen Sie die Eigenwerte λR \lambda \in \mathbb{R} von P P und bestimmen Sie die zugehörigen Launchpad Eigenräume Eλ E_{\lambda} .


1Mit 0 und 1 sind hierbei das neutrale Element 0K der Addition bzw. das neutrale Element 1K der
Multiplikation in K gemeint.


Problem/Ansatz:

Ich habe hier leider keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen muss. Ich wäre über eine Lösung mit Erklärung sehr dankbar

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Ich habe hier leider keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen muss

Willst du das jetzt bei jeder Aufgabe sagen?

Also z.B. P2=PP^2=P zu zeigen ist nicht schwierig.
Fange doch einfach mal an!

1 Antwort

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a)  L2=L L^{2}=L

<=>  L2L=0 L^{2}-L = 0

<=>    L(LE)=0 L \cdot (L-E) = 0

==>    det(L(LE))=0 det(L \cdot (L-E)) = 0

==>    det(L=0) oder det(LE)=0 det(L=0) \text{ oder }det(L-E) = 0

==>     det(L){0,1} \operatorname{det}(L) \in\{0,1\} .

b) Ist λK \lambda \in K ein Eigenwert von L L , so

gibt es ein v∈V\{0} mit  L(x)=λx L(x)= \lambda \cdot x

==>    L2(x)=L(x)=λx L^2(x) = L(x)= \lambda \cdot x

Andererseits nach Def. von L2

L2(x)=L(L(x))=L(λx) L^2(x) = L(L(x)) = L( \lambda \cdot x)

wegen der Linearität also

=λL(x)=λ(λx)=λ2x = \lambda \cdot L(x) = \lambda \cdot (\lambda x) = \lambda^2 x

Da x≠0   ==>   λ=λ2 \lambda = \lambda^2

==>  λλ2=0 \lambda - \lambda^2 =0

==>  λ(1λ)=0 \lambda(1 - \lambda) =0

==>  λ=0 oder λ=1 \lambda=0 \text{ oder } \lambda=1

Ansonsten: s. Kommentar.

Avatar von 289 k 🚀

Der Schluss

Det(L-E)=0 => Det(L)=1

Ist falsch.

Scheint irgendwie egal zu sein

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