Zeigen Sie: Matrix Multiplikation

Question

Aufgabe:

Sei n∈ℕ mit n>0. Zeigen Sie:

$$\begin{pmatrix}1&0\\ 1&2\end{pmatrix}^{n} =\begin{pmatrix}1&0\\ 2^{n}-1&2^{n}\end{pmatrix}$$ .

Problem/Ansatz:

1) Mal ganz grundsätzlich: Ist "zeigen Sie" gleich zu setzen mit "Beweisen Sie" oder wo genau liegen die Unterschiede?

Kann man dies hier mittels Induktionsbeweis einfach beweisen und damit ist es gezeigt. Wie würdet Ihr es alternativ lösen?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

1) Ja. "Zeigen" meint "Beweisen".

2) Induktion ist hier definitiv ein möglicher Weg.

Ein anderer Weg ist, die Matrix zu diagonalisieren:

$$M:=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 2\end{pmatrix}=S\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}S^{-1} \text{ mit } S = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$$

Dann ist

$$M^n = S\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2^n\end{pmatrix}S^{-1}$$

... und fertig ist die Laube.

Hier noch die Diagonalisierung.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

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Und wie diagonalisiert man die Matrix? (wolfram alpha ist wohl kaum eine Hilfe, da die auch nur das Ergebnis hinwerfen.)

Und auf welchen Satz berufst Du Dich, dass Du behauptest die "Laube" sei "fertig"?