Aloha :)
Du musst zeigen, dass gilt:∣fn(x)−f(x)∣<εfu¨r alle n∈N mit n≥n0
Bei punktweiser Konvergenz hängt n0=n0(x) vom Punkt x ab.
Bei gleichmäßiger Konvergenz kann n0 unabhängig von x gewählt werden.
Gleichmäßige Konvergenz ist also strenger, die punktweise Konvergenz folgt aus ihr.
Bei der Funktionenfolgefn(x)=n2∣x3+2xn−n∣;x∈[0;23]vermuten wir die Grenzfunktion f(x)=0. Wir prüfen das nach:∣fn(x)−f(x)∣=∣∣∣∣∣n2x3+2xn−n∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣n2x3+n2x−1∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣n2x3∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣n2x−1∣∣∣∣∣∣fn(x)−f(x)∣≤∣∣∣∣∣∣n2(23)3∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣n2∣∣∣∣∣<n24+n2≤(n≥2)n2+n2=n4<εfu¨r n>max{ε4;2}Wir können also n0 unanhängig von x angeben, sodass die Funktionenfolge fn(x) gleichmäßig (und damit auch punktweise) gegen f(x)=0 konvergiert.