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Aufgabe:


fn(x)=x3+2xnnn2 \frac{|x^3+2xn-n|}{n^2} mit x∈[0;32 \frac{3}{2} ]

Nun hätte ich den Limes:

f(x) = limn \lim\limits_{n\to\infty} fn(x) = limn \lim\limits_{n\to\infty}  x3+2xnnn2 \frac{|x^3+2xn-n|}{n^2} = ∞

Somit müsste diese Funktionenfolge doch punktweise Konvergent sein (oder)?


Problem/Ansatz:

Wie kann ich jetzt die gleichmäßige Konvergenz zeigen? |fn(x) - f(x)|<ε ist mir klar (und das muss beschränkt sein), aber ich habe das Prinzip von punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz noch nicht ganz verstanden. Schon mal Danke für eure Hilfe.

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Es ist fn(0)=1/n0(n) f_n(0) = 1/n \to 0 \,(n \to \infty) . Wie kommst du auf unendlich für alle x?

Ich würde eher sagen, dass fn(x)0f_n(x) \to 0 für alle x[0,3/2]x \in [0,3/2]

Vielen Dank - du hast natürlich vollkommend recht, es stimmt fn(x)0f_n(x) \to 0 für alle x ∈[0;32 \frac{3}{2} ]. Da ist mir bei der Bearbeitung der Formatierung wohl ein Fehler passiert (copy and paste)! Der lim n→∞ x3+2xnnn2 \frac{|x^3+2xn-n|}{n^2} = 0

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Beste Antwort

Hallo,

es gilt also fn0f_n \to 0 punktweise. Wir haben weiter mit D=[0,3/2]D=[0,3/2]

supxDfn(x)0supxD1/n2(x3+2xn+n)1/n2((32)3+4n)(n)0 \sup_{x\in D} |f_n(x)-0| \leq \sup_{x\in D} 1/n^2 \cdot (|x^3+2xn| + n) \leq 1/n^2 \cdot ((\frac32)^3+4n) \overset{(n\to\infty)}{\to} 0

Da gleichmäßige Konvergenz äquivalent zur Konvergenz in der Supremumsnorm ist, gilt fn0f_n\to 0 gleichmäßig.

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Vielen Dank für deine Hilfe!!

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Aloha :)

Du musst zeigen, dass gilt:fn(x)f(x)<εfu¨r alle nN mit nn0\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon\quad\text{für alle \(n\in\mathbb N\) mit \(n\ge n_0\)}

Bei punktweiser Konvergenz hängt n0=n0(x)n_0=n_0(x) vom Punkt xx ab.

Bei gleichmäßiger Konvergenz kann n0n_0 unabhängig von xx gewählt werden.

Gleichmäßige Konvergenz ist also strenger, die punktweise Konvergenz folgt aus ihr.


Bei der Funktionenfolgefn(x)=x3+2xnnn2;x[0;32]f_n(x)=\frac{|x^3+2xn-n|}{n^2}\quad;\quad x\in\left[0;\frac32\right]vermuten wir die Grenzfunktion f(x)=0f(x)=0. Wir prüfen das nach:fn(x)f(x)=x3+2xnnn2=x3n2+2x1nx3n2+2x1n\left|f_n(x)-f(x)\right|=\left|\frac{x^3+2xn-n}{n^2}\right|=\left|\frac{x^3}{n^2}+\frac{2x-1}{n}\right|\le\left|\frac{x^3}{n^2}\right|+\left|\frac{2x-1}{n}\right|fn(x)f(x)(32)3n2+2n<4n2+2n(n2)2n+2n=4n<εfu¨n>max{4ε;2}\phantom{\left|f_n(x)-f(x)\right|}\le\left|\frac{\left(\frac32\right)^3}{n^2}\right|+\left|\frac2n\right|<\frac{4}{n^2}+\frac2n\stackrel{(n\ge2)}{\le}\frac2n+\frac2n=\frac4n<\varepsilon\quad\text{für }n>\operatorname{max}\left\{\frac{4}{\varepsilon};2\right\}Wir können also n0n_0 unanhängig von xx angeben, sodass die Funktionenfolge fn(x)f_n(x) gleichmäßig (und damit auch punktweise) gegen f(x)=0f(x)=0 konvergiert.

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Danke für deine präzise Ausführung

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