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Aufgabe:

\( y^3=a(3x^2+3ax+a^2) \) auf ganzzahlige Lösungen untersuchen.


Problem/Ansatz:

Gegeben ist die Gleichung:

\( x^{3}+y^{3}=(x+a)^{3} \)

Das ergibt nach dem Ausmultiplizieren: \( x^{3}+y^{3}=x^{3}+3ax^{2}+3a^{2}x+a{3} \)

Der Term \( x^{3} \) fällt auf beiden Seiten weg, bleibt also: \( y^3=a(3x^2+3ax+a^2) \)

Die Frage ist, ob man trotz des um \( x^{3} \) "reduzierten" Binoms von \( (x+a)^{3} \) auf der rechten Seite ganzzahlige Lösungen (ausser den trivialen Lösungen) bekommen könnte.

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Was ist a ?\(\;\;\;\;\)

2 Antworten

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Wenn \( a(3x^2+3ax+a^2) \) gleich 1, 8, 27, 64, ... ist, dann ist y ganzzahlig.

Avatar von 123 k 🚀
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Wenn a eine ganze Zahl sein soll,
dann sucht man nach einer nichttrivialen
ganzzahligen Lösung von \(x^3+y^3=z^3\),
wobei \(x=z-a\) ist.

Eine solche gibt es nicht, siehe
https://www.math.purdue.edu/~jlipman/MA598/x%5E3+y%5E3+z%5E3.pdf

Bitte nicht immer wieder diese alten Hüte ...

Wenn du einen elementaren Beweis für "Fermat"
mit den dritten Potenzen gefunden hast, kannst du uns den ja vorführen ....

Avatar von 29 k

Ich würde mich freuen, wenn auch über Alternativen nachgedacht würde. Dieser Fermat ist offenbar eine Grenze, die man sicht überschreiten darf (soll).

Wenn a ganzzahlig ist, dann hast du

x^3+y^3=z^3

Dass dies keine ganzzahligen Lösungen hat, wurde schon vor langer Zeit von Euler bewiesen.

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