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Aufgabe:

Es sollen ganzzahlige Lösungen für   \( y^{3}=a \cdot (3x^{2}+3ax+a^{2}) \)    gefunden werden.


Problem/Ansatz:

Die Gleichung    \( y^{3}=a \cdot (3x^{2}+3ax+a^{2}) \)  hat folgende ganzzahlige "trivialen" Lösungen:

\( x=0, \phantom 3  y=a \)    und \( x=-a , \phantom 3 y= a \)

Die Frage ist nun, ob es noch weitere ganzzahlige Lösungen gibt. Meine Vermutung: Nein.

Ich versuche an Beispielen das Problem mit Primfaktorzerlegung zu veranschaulichen.


1.Beispiel: 125

\( y^{3}= 125 =5 \cdot 5\cdot 5 = 5 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 5\cdot x + 5^{2}) \)

ergibt als Lösungen (siehe oben) \( x=0, \phantom 3  y=5 \)    und \( x=-5 , \phantom 3 y=5 \)


2.Beispiel: 512

\( y^{3}= 512 = 2^{9} = 2^{3}\cdot 2^{3}\cdot 2^{3} \)

Es ergeben sich mehrere Möglichkeiten:

\( a=2: \phantom 3 512=2 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 2\cdot x + 2^{2}) \)   hat die Lösung \( x_{1}= \sqrt{85} -1, \phantom 3  x_{2}= -\sqrt{85} -1 \)

\( a=4: \phantom 3 512=4 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 4\cdot x + 4^{2}) \)  hat die Lösung \( x_{1}= 2\sqrt{\frac{31}{3}} -2, \phantom 3  x_{2}=-2\sqrt{\frac{31}{3}} -2 \)

\( a=8: \phantom 3 512=8 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 8\cdot x + 8^{2}) \)  hat die Lösung \( x_{1}=0, \phantom 3  x_{2}= -8 \)

Es folgen dann komplexe Lösungen:

\( a=16: \phantom 3 512=16 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 16\cdot x + 16^{2}) \) ergibt \( x_{1}=-8+4i\sqrt{\frac{2}{3}}  -10, \phantom 3  x_{2}=-8-4i\sqrt{\frac{2}{3}}  \)

usw.


3.Beispiel: 27.000

\( y^{3}= 27000 = 8 \cdot 27\cdot 125 = 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3} \)

Die Gleichung  \( y^{3}= 27000 = a \cdot (3x^{2}+3ax+a^{2}) \)  lässt sich nun mit allen möglichen Produkten von 2, 3, 5 für den Wert der Variablen a durchrechnen und man erhält immer nur Wurzelausdrücke oder Komplexe Zahlen.

(Vielen Dank an Wolfram Alpha !! )

( Ausgenommen sind natürlich die "trivialen" Lösungen mit   \( x=0, \phantom 3  x=-30 \)  )


Nun die eigentliche Frage: Wie könnte man die Prozedur mit dem "Ausprobieren am Beispiel" vereinfachen, so dass man letztlich erkennen kann, dass es nur die "trivialen" ganzzahligen Lösungen gibt - oder eventuell auch nicht.

Letztlich gehts ja immer um das Lösen einer quadratischen Gleichung, nur fehlt mir irgendwie die Idee, wie man das Muster erkennen kann und die Aufgabe systematisch lösen könnte.

von

Was alles soll denn da ganzzahlig sein ?

x und y ja sehr wahrscheinlich - aber auch a ??

Ja, alle Variablen sollen ganzzahlig sein.

Hatte ich leider vergessen anzugeben.

1 Antwort

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(Ich lösche, was ich will, und wann ich will.)

von

Danke für die Antwort.

Ja, die Überschrift ist falsch. Muss beim Kopieren was schief gegangen sein.

Das mit dem Gehirn ignoriere ich einfach mal, denn ich benutze es schon für wichtige Dinge. Wolfram dient mir für zeitraubende Routinerechnungen, wie z,B. dem Ausrechnen dieser komischen Wurzelausdrücke..

Leider weiss ich jetzt aber immer noch nicht, wie ich das "primitive" Problem angehen soll, was der eigentliche Zweck der Frage war.

Schaue Dir die rechte Seite einmal ganz genau an.

Oder multipliziere die rechte Seite aus, und schaue sie dann ganz genau an.

Du scheinst Dein Gehirn bei wolframalpha liegengelassen zu haben.

Also noch ein dezenter Hinweis: Die Gleichung ist homogen vom Grad 3 und die rechte Seite hat die Koeffizienten 1 und 3 und 3.

(Das war nicht nur der Wink mit dem Zaunpfahl, sondern gleich mit dem ganzen Zaun.)

Eigentlich wollte ich hier nur folgendes untersuchen:

\( x^{3}+y^{3}=(x+a)^{3} \)

ergibt nach dem Ausmultiplizieren: \( x^{3}+y^{3}=x^{3}+3ax^{2}+3a^{2}x+a{3} \)

Das \( x^{3} \) fällt auf beiden Seiten weg, bleibt also: \( y^3=a(3x^2+3ax+a^2) \)

Die Frage war nun für mich, ob man trotz des um \( x^{3} \) "reduzierten" Binoms von \( (x+a)^{3} \) auf der rechten Seite ganzzahlige Lösungen bekommen könnte. Deshalb der ganze Aufwand!

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