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Aufgabe:

Binomische Formel \( (a+b)^{3} \) und Fermat(?) - wo ist der Haken?

Ich möchte gern wissen, ob man die Binomische Formel \( (a+b)^{3} \) durch
geeignetes Umformen in die Form

\( x^{3}\phantom{10}+\phantom{10}y^{3}\phantom{10}=\phantom{10}z^{3} \phantom{10}x,y,z \in \mathbb{N} \)

bringen kann.


Problem/Ansatz:

Ein einfaches Beispiel wäre, wenn man in \( (a+b)^{3} \) den Wert \(a=b\) einsetzt.

Es ergibt sich der folgende Ausdruck:

\( (a+b)^{3} = (2a)^{3} = 8a^{3} \)

\( a^{3}    +    7a^{3}  =  8a^{3} \phantom{10} a,b \in \mathbb{N} \phantom{5} a \neq 0 \)

Die Struktur der Gleichung sieht wie Fermats Vermutung für die Potenz 3 aus.

Die Werte von \( a^{3} \) und \( 8a^{3} \) sind ganzzahlige Kubikzahlen, der Wert von \( 7a^{3} \) kann keine ganzzahlige Kubikzahl sein, weil die dritte Wurzel von 7 nicht ganzzahlig ist. Also wäre für dieses Beispiel die Vermutung von Fermat richtig.


Für den allgemeinen Fall setze ich in der Binomischen Formel \( (a+b)^{3} \) den Wert \( b=(b/a) \cdot{a} \)

und erhalte den Ausdruck

\( (a+b)^{3}=(a+(b/a)\cdot{a})^{3}=(a\cdot{(1+(b/a)))}^{3}=a^3\cdot{(1+(b/a))^{3}} \)

Von diesem Ausdruck subtrahiere ich nun \( a^{3} \) und es ergibt sich

\( a^{3} \cdot{(1+(b/a))^{3} } -a^{3} =a^{3} \cdot{((1+(b/a))^{3} -1) } \)

Nun wird \( a^{3} \) wieder addiert und man erhält insgesamt die gewünschte Binomische Formel:

\( a^{3}   +  a^{3} \cdot{((1+(b/a))^{3} -1)}   = (a+(b/a)\cdot{a})^{3} \)

Setzt man

\( x^{3} =a^{3} \)
\( y^{3} =a^{3} \cdot{((1+(b/a))^{3} -1)} \)
\( z^{3} =(a+(b/a\cdot{a})^{3} \)

ergibt sich die (Fermat)Gleichung \( \phantom{10}  x^{3}+y^{3}=z^{3} \phantom{10} x,y,z \in \mathbb{N} \)

\( x^{3} \) und \( z^{3} \) sind ganzzahlige Kubikzahlen.

Es muss nun untersucht werden, ob der Ausdruck \( y^{3} =a^{3} \cdot{((1+(b/a))^{3} -1)} \)
ebenfalls eine ganzzahlige Kubikzahl ist.

Für den ersten Faktor \( a^{3} \) trifft das zu.

Für den zweiten Faktor \( (1+(b/a))^{3} -1 \) kann man das beweisen, indem man analog \( m^{3}-1=n^{3} \) überprüft:

\( m^{3}-n^{3}=1  \phantom{10} m,n \in \mathbb{N} \)

Eine Faktorisierung ergibt \( m^{3}-n^{3}=(m-n) \cdot{ (m^{2}+mn+n^{2})}=1 \)
Da hier \( (m-n)=1 \) und \( (m^{2}+mn+n^{2})=1 \) sein müssen, ergeben sich m=1 und n=0.

Auf den Ausdruck \( (1+(b/a))^{3}-1 \) angewendet bedeutet das \( (1+(b/a))^{3}=1 \) und somit wäre

\( (1+(b/a))^{3}-1 \) nur mit \( (b/a)=0 \) eine ganzzahlige Kubikzahl.

Zusammenfassend kann man sagen, dass allgemein der Ausdruck

\( y^{3} =a^{3} \cdot{((1+(b/a))^{3} -1)} \) für \( b>0 \) keine ganzzahlige Kubikzahl sein kann und

somit die Vermutung von Fermat für die Gleichung \( x^{3}+y^{3}=z^{3} \) zutreffend ist.

Ich finde, das wäre ein "wunderbarer Beweis" und auch auf höhere Potenzen anwendbar.
Kann man das einfach so stehen lassen oder wo ist hier der Fehler versteckt?

von
\(x^3=a^3,\quad  y^{3} =a^{3} \cdot{((1+(b/a))^{3} -1)} ,\quad z^{3} =(a+(b/a\cdot{a})^{3} \)

Warum sollten die etwaigen Lösungen der "Fermat-Gleichung"

nur auf diese Weise entstehen?

Für den zweiten Faktor \( (1+(b/a))^{3} -1 \) kann man das beweisen, indem man analog \( m^{3}-1=n^{3} \) überprüft:

Wie zeigst du denn, dass \( (1+(b/a))^{3} -1 \) ganz ist, damit du dein Argument
mit m und n benutzen kannst ?

Ich behaupte nicht, dass die vorgestellte Lösung die Einzige ist.

Das hat sich nur zufällig durch Probieren als elegante Variante ergeben und ich habe dann versucht, das irgendwie zu verallgemeinern.

\( a^{3}    +    7a^{3}  =  8a^{3} \phantom{10} a,b \in \mathbb{N} \)

Es sind auch andere Fälle möglich, z.B. für \( b=3 \cdot{a} \)

\( a^{3}    +    63a^{3}  =  64a^{3} \phantom{10} a,b \in \mathbb{N} \)

\( 27a^{3}    +    37a^{3}  =  64a^{3} \phantom{10} a,b \in \mathbb{N} \)

Fermat soll ja behauptet haben: „Es ist jedoch nicht möglich, einen Kubus in 2 Kuben ... zu zerlegen."

Und genau das habe ich hier (vergeblich) versucht.

Ich finde deine Idee ja durchaus interessant.
Sie liefert jedoch keinen Beweis, dass die Fermat-Aussage
für Kuben gilt.

Ich kann Dir jetzt leider nicht mehr folgen.

Was wollen wir eigentlich beweisen?

Ich habe eine ganzzahlige Kubikzahl in zwei Kubikzahlen zerlegt und dann gezeigt, dass von den beiden entstandenen Kubikzahlen nur jeweils eine ganzzahlig ist.

Was fehlt hier noch? Wo ist der Haken?

Wie müsste der richtige Beweis dafür aussehen?

Ein vollständiger Beweis wurde von Euler erarbeitet,

siehe hier:

https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents#n_=_3

Das Problem bei deiner Methode ist, dass du voraussetzt, dass jede Lösung von

\(x^3+y^3=z^3\) notwendigerweise aus

\(x^3+?^3=(x+?)^3\) entstehen müsste.

Danke.

Mit Euler kann ich mich natürlich nicht messen, habe mich aber schon mit der Methode des unendlichen Abstiegs beschäftigt. Das ist einfach genial !!

Allerdings würde ich lieber auf direktem Weg wissen, warum das mit den dritten Potenzen nicht funktionieren kann. Oder auch mit anderen Potenzen. Deshalb die ganze Mühe.

In meinem Fall bin ich sozusagen von rechts nach links gegangen und habe versucht, aus einer bekannten Lösung eine Aufgabe zu formulieren.

Andererseits müsste ich natürlich auch zeigen, dass für beliebige x, y auf der linken Seite ein (oder besser kein) entsprechendes z berechnet werden kann.

Ich finde es prima, wenn du dich intensiv mit dieser
Problematik mit eigenen Ansätzen einbringst.
Also weiterhin gutes Experimentieren, und wer weiß ? ...

1 Antwort

0 Daumen
Für den zweiten Faktor \( (1+(b/a))^{3} -1 \) kann man das beweisen, indem man analog \( m^{3}-1=n^{3} \) überprüft:

Du setzt dabei voraus, dass \( (1+(b/a))^{3} -1 \) eine ganze Zahl ist; denn sonst kannst du

dein \(m,n\)-Argument nicht verwenden. Ist aber \( (1+(b/a))^{3} -1 \) eine ganze Zahl,

so ist leicht zu zeigen, dass dann \(a\; | \; b\) gelten muss. Das aber

scheint mir eine sehr einschränkende Forderung zu sein, deren

Gegebensein ich im Zusammenhang mit der Fermat-Problematik

nicht erkennen kann.

von 16 k

Der Einwand ist natürlich berechtigt, ein Fehler in der Beweisführung. Obwohl das hier sowieso kein strenger mathematischer Beweis sein soll. Dafür fehlt mir leider die entsprechende Ausbildung.

Allerdings ist das m,n - Argument für die Gesamtaussage nicht entscheidend, weil es ja am Ergebnis letztlich nichts ändert.

\( (1+(\frac{b}{a}))^{3}-1 \) lässt sich auch schreiben als \( (\frac{a+b}{a})^{3}-1 \)

Die Frage ist, ob der gesamte Ausdruck eine ganzzahlige Kubikzahl sein kann.

\( (\frac{a+b}{a}) \) ist ein unechter Bruch, der durch Kürzen entweder eine ganze Zahl ergibt oder einen vollständig gekürzten Bruch.

Für den Fall der ganzen Zahl lässt sich das m,n - Argument als Beweis verwenden.

Für den Fall des vollständig gekürzten Bruchs kann der gesamte Ausdruck nicht ganzzahlig werden und somit auch keine ganzzahlige Kubikzahl.

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