Aufgabe:
Ich möchte gern wissen, ob diese Kubikwurzel einen rationalen Wert hat:
\( x^{3} = \dfrac{a(a+1)}{a(a+1)+1} \)
Problem/Ansatz:
Der Quotient ist teilerfremd und der Nenner um genau +1 größer als der Zähler.
Betrachtet man den Zähler und Nenner einzeln, dann ergibt sich für mich folgendes:
Der Zähler ist das Produkt \( a(a+1) \) aber keine Kubikzahl, denn ich kann hier nicht erkennen, dass eine Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert wird. (ist hier wahrscheinlich ein ganz schlechter Beweis)
Den Nenner \( a(a+1)+1 \) kann man auch so interpretieren: \ ( 1= n^3 - a(a+1) \)
Also müsste die Differenz zweier Kubikzahlen =1 sein, und dann wäre (die einzig mögliche) Kubikzahl \( a(a+1) = 0 \)
Daraus würde sich ergeben, dass letztlich \( x^{3} =0 \) ist, also die triviale Lösung.
Kann man hier so argumentieren bzw. folgern?
