Die betrachteten Matrizen sind sämtlich symmetrisch, so dass
man sie in der Gestalt \(\left(\begin{array}{cc}a&b\\b&c\end{array}\right)\)
annehmen kann.
Auf diese Weise bekommt man
\(\phi(x,y)=ax_1y_1+bx_1y_2+bx_2y_1+cx_2y_2\) und insbesondere
\(\phi(x,x)=ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2\)
\(A_1\):
\(\phi_1(x,x)=x_1^2+x_2^2\geq 0\) und nur \(=0\), wenn \(x=0\).
Hier gibt es also keine isotropen Vektoren und daher ist
erst recht das Radikal=0.
\(A_2\):
\(\phi_2(x,x)=x_1^2-x_2^2\).
Hier gibt es die isotropen Geraden
\(\mathbb{R}(1,1)\) und \(\mathbb{R}(1,-1)\).
Es gibt aber keinen Vektor, der auf dem ganzen Raum
senkrecht steht, d.h. das Radikal ist 0.
\(A_3\):
Nun ist \(\phi_3(x,y)=x_1y_1\).
Es gilt \(\phi_3((0,1),(y_1,y_2)=0\) für jeden Vektor \((y_1,y_2)\).
Daher list \(\mathbb{R}(0,1)\) Teilmenge des Radikals.
\(A_4\):
Hier bekommst du nur den Tipp, dass das Radikal nicht nur aus der Null
besteht und daher insbesondere isotrope Vektoren existieren.
