Radikal eines Ideals berechnen

Question

Aufgabe:

Es Sei R=Z(die ganzen Zahlen). I=(360) und I sei ein Ideal.

Ein Radikal sei wie folgt definiert \( \sqrt{I} \)={r ∈ R: rⁿ ∈ I, for some positive integer n}

Ich soll nun \( \sqrt{I} \) berechnen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß mein I=360Z das heißt ich suche \( \sqrt{I} \)=\( \sqrt{360Z} \).

Wenn ich jetzt die Definition hernehme dann muss ja folgendes gelten 360*k=(r*t)ⁿ für k,r ∈ Z und n ∈ N(natürlichen Zahlen)

dann könnte ich weiter umformen \( \frac{(360k)^{( \frac{1}{n})}}{t}\)=r

Ich habe nun im Netzt gesehen dass man die Zahl 360 in Primfaktoren zerlegen  kann. 360 = 10*36 = 2*5*6\(^{2}\)

= 2*5*(2*3)\(^{2}\) = 2*2*2*3*3*5 = 2\(^{3}\)*3\(^{2}\)*5

und dann wieder in obiges einsetzten

\( \frac{(2^{3}*3^{2}*5* k)^{( \frac{1}{n})}}{t}\)=r

und hier stecke ich denn wie mache ich weiter? Nach welchen Kriterien wähle ich mir mein n? und welche Informationen erhalte ich jetzt durch den letzten Schritt?

Bzw. ist das überhaupt ein möglicher Ansatz?

lg und danke schonmal für die Ideen

Mario

Answer 1

360 besitzt die Primteiler 2,3,5.

Wenn eine nat. pos. Zahl nicht durch 2,3 oder 5 teilbar ist,

dann kann auch keine Potenz dieser Zahl durch 2,3 oder 5 teilbar sein,

also auch kein ganzzahliges Vielfaches von 360 sein.

Daher muss das Radikal von \((360)\) gleich \((2\cdot 3\cdot 5)=(30)\) sein;

denn \(30^3\) ist durch \(360\) teilbar