Mengen und Relationen Mathematik

Question

Aufgabe:
Untersuchen Sie folgenden Relationen auf Transitivität, Symmetrie, und Reflexivität. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

Die Grundmenge ist die Menge aller Fahrradmodelle. Für zwei Modelle x und y gilt xRy, wenn x = y ist oder wenn es einen Händler gibt, bei dem Modell x weniger als Modell y kostet, und einen anderen Händler, bei dem Modell y weniger als Modell x kostet.

Ich habe:
R = { (a, b) ∈ N × N | a = b V Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y }

Da es sich um ein oder handelt müsste man ja nur checken ob a = b gilt oder Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y gilt. Also habe ich Reflexivität, Symmetrie, Transitivität auf a = b geprüft. Und habe wahr auf alles bekommen, somit ist R reflexiv, transitiv und symmetrisch. Dies war aber falsch, warum? Muss man schauen ob a = b UND Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y reflexiv, transitiv und symmetrisch sind?

Danke im Voraus

Answer 1

Sei $p_{h}(x)$ der Preis für das Fahrradmodell $x$ beim Händler $h$.

Dann ist

        $\begin{aligned}R = \{(a,b)\ |\ a=b \vee \exists\, h,h':(&h\neq h'\wedge\\& p_h(a) < p_h(b)\wedge\\& p_{h'}(b) < p_{h'}(a))\}\end{aligned}$

Angenommen es gibt drei Fahrradhändler, $h$, $h'$ und $h''$ und drei Fahrradmodelle $r_1$, $r_2$ und $r_3$ mir folgenden Preisen:

$p$	$h$	$h'$	$h''$
$r_1$	$1$	$2$	$1$
$r_2$	$2$	$1$	$2$
$r_3$	$1$	$2$	$1$

Dann ist $(r_1,r_2)\in R$ wegen $p_h(r_1)<p_{h}(r_2)$ und $p_{h'}(r_2)<p_{h'}(r_1)$.

Außerdem ist $(r_2,r_3)\in R$ wegen $p_{h'}(r_2)<p_{h'}(r_3)$ und $p_{h''}(r_3)<p_{h''}(r_2)$.

Allerdings ist $(r_1,r_3)\notin R$.

Also ist $R$ nicht transitiv.

Comments

Hey,

Kann man in der Relation aber nicht nur auf a = b gucken, da es ein oder dazwischen gibt und nur eins transitiv sein muss? Wie kann man wissen wann man auf a = b gucken muss und wann auf die Händler? Ich dachte den Beweis nur mit a = b durchzuführen währe genügend.

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Allerdings ist $(r_1,r_3)\notin R$.

Genauer gesagt ist $(r_1,r_3)\notin R$, weil weder

          $r_1 = r_3$

noch

        $\begin{aligned}\exists\, h_1,h_2:(&h_1\neq h_2\wedge\\& p_{h_1}(r_1) < p_{h_1}(r_3)\wedge\\& p_{h_2}(r_3) < p_{h_2}(r_1))\end{aligned}$

gilt.

und nur eins transitiv sein muss

Ich weiß nicht was du damit meinst.

Gib ein Beispiel für eins, das transitiv ist.

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Also ich dachte man müsste nur prüfen ob a = b transitiv ist und nicht die rechte Seite mit den Händlern, da es sich um ein oder zwischen dem a = b und den Händler handelt.

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Transitivität ist eine Eigenschaft von Relationen.

a = b ist eine Formel.

Formeln sind kleine Relationen.

Deine Aussage "ob a = b transitiv ist" ergibt deshalb überhaupt keinen Sinn.

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Ich meine wir haben folgende Relation:

R = { (a, b) ∈ N × N | a = b V Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y }

um transitiv zu prüfen reicht es nicht a = b zu überprüfen anstatt Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y, da wir ein oder zwischen a = b und Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y haben?

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Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y

Was ist Händler 1 x?

Was ist y?

Was ist Händler 2 x?