Zeigen Sie: Spur(A) = Rang(A).

Question

Aufgabe:

Sei A² = A. Zeigen Sie: Spur(A) = Rang(A).

Problem/Ansatz:

$\operatorname{Spur}(A)=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}=>\sum \limits_{i=1}^{n}\left(\lambda_{i}\right)^{2}=\operatorname{Spur}\left(A^{2}\right)$

Das sind (evtl. brauchbare) Ansätze, die ich weiß bzw. die mir einfallen. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

Die Matrix $A$ ist Nullstelle des Polynoms $p=X(X-1)\in K[X]$,

--- [ $p$ liegt also im Kern des Einsetzungshomomorphismus

$K[X]\rightarrow K^{n\times n},\; p\mapsto p(A)$.

Dieser Kern ist ein Ideal in $K[X]$ und

da $K[X]$ ein Hauptidealring ist, gibt es genau ein

normiertes Polynom, das dieses Ideal erzeugt:

das Minimalpolynom $\mu_A$.] ---

Daher ist $\mu_A$ ein Teiler von $p$, hat also die Gestalt

$\mu_A=X$, $\mu_A=X-1$ oder $\mu_A=X(X-1)$.

Nun benutze:

Zerfällt das Minimalpolynom in verschiedene Linearfaktoren,

so gibt es eine Basis aus Eigenvektoren, d.h. $A$ ist diagonalisierbar,

so dass nach Basiswechsel eine Diagonalmatrix entsteht,

die auf der Diagonalen nur die Eigenwerte 0 und 1 stehen hat, ...

Comments

Noch eine Bemerkung: Die Spur
ist invariant bzgl. Basiswechsel.

Den Beweis, dass das Minimalpolynom ein Teiler
von p ist, habe ich zwischen -- [  und ] --
eingefügt. Aber vielleicht habt ihr einen entsprechenden
Satz: "Wenn A Nullstelle eines Polynoms ist, dann ist das
Minimalpolynom ein Teiler dieses Polynoms."

Answer 2

Hier ist ein eher "geometrischer" Beweis.

Da $A^2=A \in K^{n\times n}$, kann man schnell zeigen, dass $K^n = \operatorname{im}A \oplus \ker A$. Denn

$x \in K^n\Rightarrow x= Ax+(x-Ax)$

$A(x-Ax) = Ax-A^2x = Ax-Ax = o \Rightarrow x-Ax \in \ker A$.

Die Summe ist auch direkt, denn

$x\in \operatorname{im}A \cap \ker A\Rightarrow x=Au \Rightarrow o= Ax = A^2u = Au = x$.

Wegen $A^2=A$ ist $A$ also gleich der Identität auf $\operatorname{im}A$.

Nun gilt

$\operatorname{Rang}(A) = \dim \operatorname{im}A = k$

Wir wählen also eine Basis $b_1,\ldots ,b_k$ für $\operatorname{im}A$ und ergänzen $b_{k+1},\ldots , b_n$ als Basis von $\ker A$.

In dieser Basis ist offenbar

$$\operatorname{Spur}(A)= k =\dim \operatorname{im}A = \operatorname{Rang}(A)$$

Es ist nur noch anzumerken, dass die Spur basistransformationsinvariant ist.

Comments

Ah, sehr schöne "elementare" Lösung !

---

@ermanus
Ich wollte eigentlich auch übers Minimalpolynom argumentieren. Aber du warst schneller :-).