Wie berechnet man die Definitheit dieser quadratischen Form?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Definitheit der quadratischen Form

Q(x, y, z) = 2x² + 5y² + 2z² + 6xy − 2xz + 2yz

Problem/Ansatz:

Hallo, wie berechnet man diese Aufgabe?

Comments

Es ist $Q(x,y,z)=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}2&3&-1\\3&5&1\\-1&1&2\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ und
$\det\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}>0,\det\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}>0,\det\begin{pmatrix}2&3&-1\\3&5&1\\-1&1&2\end{pmatrix}<0$.

---

Alternativ:  $Q(x,y,z)=\frac12(2x+3y-z)^2+\frac12(y+5z)^2-11z^2$.

---

Und wie willst Du nun damit die Definitheit beweisen?

---

Hat er doch gemacht.

Der erste und zweite Hauptminor sind positiv, der dritte ist negativ. Damit ist die Matrix indefinit.

Answer 1

Auch wenn Arsinoé4 bereits die Indefinitheit bewiesen hat,

hier noch zwei "konkrete" Fälle:

$Q(1,0,0)=2>0$ und $Q(1,-1,1)=-1 < 0$.

Comments

Nach meinen Berechnungen ist $\,Q(1,-1,1)=-1$.

---

Ja. Du hast Recht. Grundrechenarten waren schon
immer mein Problem ;-)
Habe meine Antwort korrigiert.