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Aufgabe:

Der graph der Funktion f(x)=x³ - 3x² + 2x schließt mit der x-achse eine Fläche ein. berechne den inhalt dieser eingeschlossenen fläche

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Zur Bestimmung der Fläche, die der Graph von$$f(x)=x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$$mit der x-Achse einschließt, müssen wir die Funktion von Nullstelle zu Nullstelle integrieren (weil Integrale unterhalb der x-Achse negativ und oberhalb der x-Achse postitiv sind) und die Beträge dieser Teilintegrale addieren.

Die drei Nullstellen \(0;1;2\) kannst du aus der Faktorisierung oben ablesen:$$F=\left|\int\limits_0^1(x^3-3x^2+2x)\,dx\right|+\left|\int\limits_1^2(x^3-3x^2+2x)\,dx\right|$$$$\phantom F=\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]_0^1\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]_1^2\right|=\left|\frac14-0\right|+\left|0-\frac14\right|=\frac14+\frac14=\frac12$$

~plot~ x*(x-1)*(x-2) ; [[0|2,5|-0,5|0,5]] ~plot~

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Nullstellen bestimmen:

x^3-3x^2 +2x =0

x(x^2-3x+2)= 0

x=0

x^2-3x-2= 0

(x-1)(x-2)

x= 1 v x= 2

Integriere von Nullstelle zu Nullstelle.

Von den negativen Flächen den Betrag nehmen.

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\(f(x)=x^3-3x^2+2x\)

\(f´(x)=3x^2-6x+2\)

\(f´´(x)=6x-6\)

\(6x-6=0\)    →  \(x=1\)      \(f(1)=1^3-3*1^2+2*1=0\)

Nullstellen:

\(x^3-3x^2+2x=0\)   →  \(x*(x^2-3x+2)=0\)   →  \(x_1=0\)

\(x^2-3x+2=0\)     \(x_2=1\)   \(x_3=2\)

Beim Wendepunkt \(W(1|0)\) liegt Punktsymmetrie vor:

\(A=2*\int\limits_{0}^{1}(x^3-3x^2+2x)dx\\=2*\left[\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2\right]_0^1\\=2*(\frac{1}{4}-1+1)]-0\)

\(A=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}FE\)

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Die x^3 habe ich glatt überlesen.

Das Ganze ist kaum leserlich.

Woher kommt diese Verblassung?

Spiegelsymmetrie

Gemeint ist vermutlich "Punktsymmetrie".

Danke dir! Ich werde es verbessern!

Ich habe mir erlaubt, die Grenzen bei den eckigen Klammern zu ergänzen und ein paar Zeilenumbrüche einzufügen.

:-)

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Hallo,

Die beiden Flächen haben jeweils einen Inhalt von 0,25 Flächeneinheiten.

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