berechne den inhalt dieser eingeschlossenen fläche

Question

Aufgabe:

Der graph der Funktion f(x)=x³ - 3x² + 2x schließt mit der x-achse eine Fläche ein. berechne den inhalt dieser eingeschlossenen fläche

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Zur Bestimmung der Fläche, die der Graph von$$f(x)=x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$$mit der x-Achse einschließt, müssen wir die Funktion von Nullstelle zu Nullstelle integrieren (weil Integrale unterhalb der x-Achse negativ und oberhalb der x-Achse postitiv sind) und die Beträge dieser Teilintegrale addieren.

Die drei Nullstellen $0;1;2$ kannst du aus der Faktorisierung oben ablesen:$$F=\left|\int\limits_0^1(x^3-3x^2+2x)\,dx\right|+\left|\int\limits_1^2(x^3-3x^2+2x)\,dx\right|$$$$\phantom F=\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]_0^1\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]_1^2\right|=\left|\frac14-0\right|+\left|0-\frac14\right|=\frac14+\frac14=\frac12$$

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f₁(x) = x·(x-1)·(x-2)Zoom: x(0…2,5) y(-0,5…0,5)

Answer 2

Nullstellen bestimmen:

x³-3x² +2x =0

x(x²-3x+2)= 0

x=0

x²-3x-2= 0

(x-1)(x-2)

x= 1 v x= 2

Integriere von Nullstelle zu Nullstelle.

Von den negativen Flächen den Betrag nehmen.

Answer 3

$f(x)=x^3-3x^2+2x$

$f´(x)=3x^2-6x+2$

$f´´(x)=6x-6$

$6x-6=0$    →  $x=1$      $f(1)=1^3-3*1^2+2*1=0$

Nullstellen:

$x^3-3x^2+2x=0$   →  $x*(x^2-3x+2)=0$   →  $x_1=0$

$x^2-3x+2=0$     $x_2=1$   $x_3=2$

Beim Wendepunkt $W(1|0)$ liegt Punktsymmetrie vor:

$A=2*\int\limits_{0}^{1}(x^3-3x^2+2x)dx\\=2*\left[\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2\right]_0^1\\=2*(\frac{1}{4}-1+1)]-0$

$A=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}FE$

Comments

Die x³ habe ich glatt überlesen.

Das Ganze ist kaum leserlich.

Woher kommt diese Verblassung?

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Spiegelsymmetrie

Gemeint ist vermutlich "Punktsymmetrie".

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Danke dir! Ich werde es verbessern!

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Ich habe mir erlaubt, die Grenzen bei den eckigen Klammern zu ergänzen und ein paar Zeilenumbrüche einzufügen.

:-)

Answer 4

Hallo,

Die beiden Flächen haben jeweils einen Inhalt von 0,25 Flächeneinheiten.