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Aufgabe:

Warum sind Z[x] und K[x, y]  ZPE Ringe? Könnte das jemand kurz und knapp in eigenen Worten erklären?

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2 Antworten

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\(\mathbb{Z}\) und \(K[X]\) sind euklidische Ringe,

also auch Hauptidealringe.

Hauptidealringe sind faktoriell (ZPE-Ringe).

Nach dem Lemma von Gauß sind Polynomringe faktorieller Ringe wieder faktoriell.,

also sind \(\mathbb{Z}[X]\) und \(K[X,Y]=(K[X])[Y]\)

faktoriell (ZPE-Ringe).

Avatar von 29 k

Polynomringe sind laut def euklidisch richtig?

So kann man das nicht sagen, sondern es geht darum, dass

es hier eine Gradfunktion \(\deg\) gibt mit der

Eigenschaft:

Seien \(a,b\) Elemente des Ringes, so gibt es ein Element \(q\)

und ein Element \(r\) (sog. Rest) im Ring, so dass

\(b=a\cdot q + r\), wobei \(\deg(r)< \deg(a)\) gilt.

ok dank dir :D

Polynomringe sind laut def euklidisch richtig?

Das hängt vom Koeffizientenring ab.

Ist K ein Körper so ist K[x] euklidisch

ℤ[x] ist aber zB nicht euklidisch.


Es gilt

R faktoriell => R[x] faktoriell

Und

R Körper => R euklidisch => R HIR => R faktoriell

Z.B. ist \(\mathbb{Z}[X]\) nicht euklidsich,

ja nicht einmal ein Hauptidealring, wie das Ideal \((2,X)\) zeigt.

Ah, sehe gerade, dass das mein Vorkommentator gerade

geschrieben hat.

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Man kann die Elemente addieren und miteinander

multiplizieren und die Ergebnisse sind wieder

in der Menge drin. Und die üblichen Gesetze

(Assoziativ, Distributiv) gelten auch.

Avatar von 287 k 🚀

Gilt das nicht für jeden beliebigen Ring?

Das "ZPE" hatte ich glatt überlesen.

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