Erklärung: Berechnung fC,C => schneller Weg?

Question

Aufgabe: Abb.: Komplette Lösung

Text erkannt:

3. Sei $V=\mathbb{C}[z]_{\leq 1}=\{p(z)=a z+b \mid a, b \in \mathbb{C}\}$ der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 1. Seien $\mathcal{B}=\{1, z\}$ und $\mathcal{C}=\{z+1, z-1\}$ Basen von $V$. Berechne:
(a) $K_{\mathcal{B}}^{-1}\left(\left[\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right]\right)=3 \cdot 1+2 \cdot z=2 z+3$
(b) $K_{\mathcal{C}}^{-1}\left(\left[\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right]\right)=3(z+1)+2(z-1)=5 z+1$
(c) Wegen $2 z+3=3 \cdot 1+2 \cdot z$ ist $K_{\mathcal{B}}(2 z+3)=\left[\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right]$
(d) $2 z+3=a(z+1)+b(z-1)=(a+b) z+(a-b)$. Ein Koeffizientenvergleich ergibt $a+b=2$ und $a-b=3$. LGS für $a$ und $b$ lösen:
also $a=\frac{5}{2}$ und $b=-\frac{1}{2}$ und damit $K_{\mathcal{C}}(2 z+3)=\left[\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5 / 2 \\ -1 / 2\end{array}\right]$.
4. Seien $V, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ wie in $3 ., f: V \rightarrow V$ mit $f(p(z))=2 p(z)+p(1)$. Berechne $f_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}, f_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}, f_{\mathcal{C}, \mathcal{C}}$. Bilder der Basisvektoren aus $\mathcal{B}$ :
$\begin{array}{l} f(1)=2 \cdot 1+1=3=3 \cdot 1+0 \cdot z=\frac{3}{2}(z+1)-\frac{3}{2}(z-1) \\ f(z)=2 z+1=1 \cdot 1+2 \cdot z=\frac{3}{2}(z+1)+\frac{1}{2}(z-1) \end{array}$
also $f_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ und $f_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}=\left[\begin{array}{cc}3 / 2 & 3 / 2 \\ -3 / 2 & 1 / 2\end{array}\right]$. Bilder der Basisvektoren aus $\mathcal{C}$ :
$\begin{array}{l} f(z+1)=2(z+1)+(1+1)=2 z+4=3(z+1)-1(z-1) \\ f(z-1)=2(z-1)+(1-1)=2 z-2=0(z+1)+2(z-1) \end{array}$
also $f_{\mathcal{C}, \mathcal{C}}=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\ -1 & 2\end{array}\right]$.

Problem:

Ich arbeite gerade Stoff auf und hab gefühlt den Großteil wieder vergessen :/

Zur Frage: Wie kommen wir auf den schnellen Schluss, dass fC,C so aussieht, wie hier ganz unten?

Schonmal Dank im Voraus und nen schönen morgen noch.

Answer 1

Es wurden die Bilder der Basisvektoren mit den Basisvektoren

dargestellt. Wenn die Basisvektoren u und v heißen, hast du hier ja

f(u) = 3u +(-1)v und  f(v)=0u + 2v .

Die rot markierten Faktoren bilden die 1. Spalte der Matrix und die

gelben die 2. Spalte.

Comments

Ah stimmt, war wohl etwas müde, dass ich dies simple übersehen habe. Danke!