Berechnung einer Komponente der mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung

Question

Hallo zusammen,

Wie habe ich folgenden Ausdruck grundsätzlich zu verstehen:

Text erkannt:

\( \left.\left(\vec{r}^{\prime} \cdot \nabla\right) \vec{f}\right|_{x_{0}, y_{0}, z_{0}} \)

Mir fehlt ein wenig das grundlegende Verständnis, was genau dort passiert.

Mit freundlichen Grüßen

Casio991

Answer 1

Aloha :)

Den Strich am \((\vec r\,')\) lasst ich weg:$$(\vec r\cdot\vec\nabla)f=\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix}\right)f=\left(x\,\frac{\partial}{\partial x}+y\,\frac{\partial}{\partial y}+z\,\frac{\partial}{\partial z}\right)f=x\,\frac{\partial f}{\partial x}+y\,\frac{\partial f}{\partial y}+z\,\frac{\partial f}{\partial z}$$

Danach dann in das Ergebnis \((x_0;y_0;z_0)\) einsetzen.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, jedoch ist f in diesem Fall eine vektorielle Funktion und keine skalare. Die Schreibweise mit der skalaren Funktion ist ja einfach die Richtungsableitung in die Richtung r und diese ist mir auch bekannt und dort verstehe ich auch, was ich damit berechne. Bei der Form mit der vektorielle Funktion jedoch nicht. Ist es evtl die Richtungsableitung der Funktion f_x in die Richtung r und das gleiche natürlich für die anderen beiden Komponenten.

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Sorry, ich habe den Vektorpfeil bei \(\vec f\) übersehen...

In diesem Fall wirkt der Operator auf jede einzelne Komponete von \(\vec f\):

$$(\vec r\,\vec\nabla)\vec f=\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}+z\frac{\partial}{\partial z}\right)\begin{pmatrix}f_x\\f_y\\f_z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\frac{\partial f_x}{\partial x}+y\frac{\partial f_x}{\partial y}+z\frac{\partial f_x}{\partial z}\\[1ex]x\frac{\partial f_y}{\partial x}+y\frac{\partial f_y}{\partial y}+z\frac{\partial f_y}{\partial z}\\[1ex]x\frac{\partial f_z}{\partial x}+y\frac{\partial f_z}{\partial y}+z\frac{\partial f_z}{\partial z}\end{pmatrix}$$

Normalerweise lautet ja die Taylor-Reihe für Funktionen \(f(\vec r)\):$$f(\vec r_0+\Delta \vec r)=e^{\vec\Delta r\cdot\vec\nabla}f(\vec r_0)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(\Delta\vec r\cdot\vec\nabla)^n}{n!}\,f(\vec r_0)$$

Wenn du diese Entwicklung auf Vektorfunktionen \(\vec f(\vec r)\) überträgst, musst du jede Komponente der Funktion einzeln nähern. Das kann man vektoriell zusammenfassen:$$\vec f(\vec r_0+\Delta \vec r)=e^{\vec\Delta r\cdot\vec\nabla}\vec f(\vec r_0)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(\Delta\vec r\cdot\vec\nabla)^n}{n!}\,\vec f(\vec r_0)$$

Dabei taucht dann für \(n=1\) "dein" Ausdruck von oben auf.