Taylorentwicklung 2. Ordnung für f(x,y,z) - Funktion mit mehreren Variablen

Question

Aufgabe:

Das Potential eines Dipols setzt sich aus den Potentialen zweier Punktladungen mit entgegengesetzt gleich großer Ladung q im Abstand 2h

V (x, y, z) = [q/((x − h)^2 + y^2 + z^2)] - [q/((x + h)^2 + y^2 + z^2)]

zusammen. Berechnen Sie eine Näherung von V fur kleine h mit Hilfe einer Taylorentwicklung bis zur 2. Ordnung.

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, wie die Taylorentwicklung bis zur 2. Ordnung generell funktioniert. Bei dieser Aufgabe weiß ich jedoch nicht, nach welcher Variable ich ableiten soll... Nach allen kann ja nicht sein, da bekäme ich für V'' eine Matrix heraus, oder?
Wahrscheinlich deutet "Näherung von V fur kleine h" auf den Lösungsansatz hin, aber ich komme nicht drauf!

Answer 1

Aloha :)

Es geht um eine Näherung des Ausdrucks$$V(x;y;z)=\frac{q}{(x-h)^2+y^2+z^2}-\frac{q}{(x+h)^2+y^2+z^2}$$$$\phantom{V(x;y;z)}=\frac{q}{r^2-2xh+h^2}-\frac{q}{r^2+2xh+h^2}=\underbrace{\frac{4qxh}{(r+h)^2-4x^2h^2}}_{\eqqcolon f(h)}$$für kleine \(h\). Daher entwickeln wir \(V\) die Stele \(h=0\) herum.

$$f'(h)=\frac{4qx((r+h)^2-4x^2h^2)-4qxh(2(r+h)-8x^2h)}{((r+h)^2-4x^2h^2))^2}\implies f'(0)=\frac{4qx}{r^2}$$

$$f''(h)=\frac{8qx(h^3(1-4x^2)^2+3hr^2(4x^2-1)-2r^3)}{((r+h)^2-4x^2h^2)^3}\implies f''(0)=-\frac{16qx}{r^3}$$

Damit lautet die gesuchte Näherung:$$V(x;y;z)\approx f(0)+f'(0)\cdot h+\frac12f''(0)\cdot h^2=\frac{4qxh}{r^2}-\frac{8qxh^2}{r^3}\quad\text{für }h\approx0$$

Comments

Hallo, vielen Dank für deine umfassende Antwort! Den ersten Umformungsschritt verstehe ich leider nicht so ganz... Wo kommt das r her? :D

---

Das \(r\) ist die Abkürzung für \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).

---

sind unter den Brüchen denn Wurzeln? sonst ergibt das r mit wurzel doch keinen sinn oder? :)

---

das Beispiel bringt mich zum verzweifeln

Answer 2

Hallo

da steht doch für kleine h, also nur eine Variable h.

Gruß lul