Vollständige Induktion mit Ungleichung an > 2

Question

Aufgabe:

Die Folge (a_n)_n∈ℕ sei rekursiv definiert durch
a₁ = 3,        a_n+1 = 4 − \( \frac{4}{an} \)  (n ∈ N).
(i) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass a_n > 2 für alle n ∈ ℕ ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe bisher Folgendes geschrieben:
IA: n=1

a_n > 2    ⇒    a₁ > 2    ⇒     3 > 2

IS: n → n+1

z.z. a_n+1 > 2

⇒ 4 - \( \frac{4}{an} \) > 2

Nun weiß ich nicht, wie ich das a_n aus der letzten Ungleichung ersetzen kann. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich weiter vorgehen muss?

Answer 1

Z.B. Induktionsschritt so:

\(a_n>2\Rightarrow 1/a_n< 1/2\Rightarrow 4/a_n< 4/2=2\Rightarrow\)

\(-4/a_n>-2\Rightarrow a_{n+1}=4-4/a_n=4+(-4/a_n)>4+(-2)=2\).

Oh, translocation war schneller ....

Answer 2

Du musst ausnutze, dass \(a_n > 2\) ist:

\(a_n>2 \Leftrightarrow \frac 1{a_n} < \frac 12\)

\(\Leftrightarrow -\frac 4{a_n} > -\frac 42=-2\)

\(\Leftrightarrow a_{n+1} = 4-\frac 4{a_n} > 4-2 = 2\)

Answer 3

Um zu zeigen, dass an > 2 für alle n ∈ ℕ ist, verwenden wir vollständige Induktion.

Induktionsanfang: Wir zeigen zuerst, dass a1 > 2 ist. Es gilt:

a1 = 3 > 2.

Also ist die Aussage für n = 1 wahr.

Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass an > 2 für ein beliebiges n ∈ ℕ gilt. Wir wollen nun zeigen, dass auch an+1 > 2 ist.

Wir betrachten die rekursive Definition von an+1:

an+1 = 4 - 4/an.

Wir wollen zeigen, dass an+1 > 2 ist. Wir können an+1 > 2 zeigen, indem wir zeigen, dass 4 - 4/an > 2 ist.

Dazu stellen wir folgende Ungleichung auf:

4 - 4/an > 2

Durch Subtraktion von 2 erhalten wir:

2 - 4/an > 0

Multiplizieren wir beide Seiten mit an/4, erhalten wir:

an/2 - 1 > 0

Addieren wir nun 1/2 auf beiden Seiten, erhalten wir:

an/2 > 1/2

Da an > 2 nach der Induktionsvoraussetzung, ist auch 1/an < 1/2. Daher folgt:

an+1 = 4 - 4/an < 4 - 4/2 = 2.

Somit haben wir gezeigt, dass an+1 < 2. Daher ist an+1 > 2 für alle n ∈ ℕ.

Daher ist an > 2 für alle n ∈ ℕ, wie durch vollständige Induktion bewiesen wurde.

Comments

an/2 - 1 > 0

Addieren wir nun 1/2 auf beiden Seiten, erhalten wir:

an/2 > 1/2

Hmmm...