Vollständige Induktion bei Ungleichung >0

Question

Aufgabe: Vollständige induktion von Ungleichung >0

Für alle n ∈ ℕ: n ≥ 4 → 2ⁿ - 4n +1 >0.

Problem/Ansatz:

Ich komme beim Induktionsschluss nicht weiter. Ich verstehe nicht ganz wie ich die Induktionsvoraussetzung nutzen kann um aufzuzeigen, dass die Ungleichung auch für n+1 > 0 ist. Beim Umformen erhalte ich immer ein negatives Ergebnis..

2ⁿ⁺¹ - 4(n+1)+1 = 2•2ⁿ -4n +1 -4 ist ja blödsinn um zu zeigen dass es >0 ist...

Wäre klasse, falls mir jemand auf die Sprünge helfen könnte!

Answer 1

Hallo :-)

Ich betrachte folgendes für den Induktionsschritt:

$$2^{n+1}-4(n+1)+1\\=2\cdot 2^n-4n-4+1\\=2^n+2^n-4n-4+1\\=\underbrace{(2^n-4n+1)}_{\stackrel{IV}{>0}}+2^n-4\\>2^n-4\stackrel{n\geq 4}{\geq} 2^4-4\\=16-4=12>0.$$

Comments

Hallo und vielen Dank für die schnelle Antwort!

Der Schritt 2•2ⁿ = 2ⁿ + 2ⁿ war mir tatsächlich nicht geläufig (Schande über mein Grundlagenwissen!) aber mit dem Schritt ist es ja echt ganz einfach am Ende.

Vielen lieben Dank nochmal, ich war schon total verzweifelt ^^

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Schande über mein Grundlagenwissen!

Das jetzt nicht unbedingt. Man muss nur drauf kommen, dass es hier hilfteicht ist, ein Produkt als Summe zu schreiben.

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Man muss nur drauf kommen, dass es hier hilfteicht ist, ein Produkt als Summe zu schreiben.

.. oder die anderen Summanden wieder als Produkt$$\begin{aligned} 2^{n+1} - 4(n+1) +1 &= 2^{n} \cdot 2 - 4n - 3 \\ &= 2^{n} \cdot 2 - 8n +2 +4n -5 \\ &= 2\left(2^{n} - 4n +1\right) +4n -5 \\ &\gt 4n - 5 &&|\, n \ge 4 \\ &\ge 4\cdot 4  -5\\ &\checkmark \end{aligned} $$es gibt viele Wege nach Rom