Vollständige Induktion mit Ungleichung

Question

Sei n eine positive ganze Zahl und x₁,x₂,...,x_n reelle Zahlen mit x_i≥1 für i=1,...,n

Beweisen Sie, dass:

$$\prod \limits_{i=1}^{n}(1+x_{i})\geq \frac{2^{n}}{n+1}(1+\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i})$$

Finden sie sogar einen Beweis, der ohne vollständige Induktion auskommt?

zu 1) habe ich mir überlegt:

Induktionsanfang: n=1

$$\prod \limits_{i=1}^{1}(1+x_{1})\geq \frac{2^1}{1+1}(1+\sum \limits_{i=1}^{1}x_{1})$$

$$(1+x_1)\geq \frac{2}{2} (1+x_1)$$

$$(1+x_1) \geq (1+x_1)$$

Induktionsvorschrift: Es gelte für ein beliebiges n: $$\prod \limits_{i=1}^{n}(1+x_{i})\geq \frac{2^{n}}{n+1}(1+\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i})$$

Induktionsschritt: n ↦ n+1

$$\prod \limits_{i=1}^{n+1}(1+x_{i}) \geq \frac{2^{n+1}}{(n+1)+1}(1+\sum \limits_{i=1}^{n+1}x_{i})$$

$$\prod \limits_{i=1}^{n}(1+x_{i})*(1+x_{n+1})$$

und weiter komme ich nicht. Vollständige Induktion mit "=" hat immer ganz gut geklappt, aber mit einer Ungleichung haben wir das noch nie gemacht. Und ein Lösungsweg ohne Induktion fällt mir leider auch nicht ein. Vielen Dank für Tipps oder Hilfestellungen!

Answer 1

Hallo,

das Prinzip der vollständigen Induktion bleibt auch für Ungleichungen das gleiche. Allerdings steht dann bei der Anwendung der Induktionsvoraussetzung kein "=" zwischen den Ausdrücken sondern ein "\(\geq\)". Auch bei allen anderen Schritten hast du den Spielraum ein "\(\geq\)" statt nur "=" zu schreiben.

Nun zur Aufgabe:

Für mich ist der Nenner \(n+1\) in der ursprünglichen Aussage etwas nervig, deswegen zeige ich folgende (äquivalente) Aussage:

Für alle \(n\in\mathbb N\) und \(x_1,\dots,x_n\geq1\) gilt:$$ (n+1)\prod_{i=1}^n(1+x_i)\geq2^n\left(1+\sum_{i=1}^n x_i\right) $$

Du hast ja schon richtig gezeigt, dass die Aussage für \(n=1\) gilt und auch aufgeschrieben, was im Induktionsschritt zu zeigen ist (hier sieht das natürlich leicht anders aus). Nun geht es darum die rechte Seite auf eine Form zu bringen, in die man die Induktionsvoraussetzung einsetzen kann. Einen Ansatz dafür hast du schon aufgeschrieben, man kann vorher noch einen Schritt machen um etwas weniger rechnen zu müssen:$$ \begin{aligned} (n+1+1)\prod_{i=1}^{n+1}(1+x_i)&=(n+1+1)(1+x_{n+1})\prod_{i=1}^n(1+x_i)\\ &=(1+x_{n+1})\left[(n+1)\prod_{i=1}^n(1+x_i)\right]+(1+x_{n+1})\prod_{i=1}^n(1+x_i)\\ &\overset{IV}{\geq}(1+x_{n+1})\left[2^n\left(1+\sum_{i=1}^n x_i\right)\right]+(1+x_{n+1})\prod_{i=1}^n(1+x_i)\\ &\overset{(1)}{\geq}(1+x_{n+1})\cdot2^n\left(1+\sum_{i=1}^n x_i\right)+(1+x_{n+1})\cdot2^n\\ &=2^n\left(1+\sum_{i=1}^n x_i+x_{n+1}+x_{n+1}\cdot\sum_{i=1}^n x_i+1+x_{n+1}\right) \end{aligned}$$

Jetzt fehlen noch 2 kleine Schritte. Schreibe dir am besten nochmal auf, was rauskommen soll dann ist auch relativ offensichtlich, was du machen musst.
Überlege dir auch, warum (1) gilt.
(Man hätte die IV auch direkt nach der ersten Zeile benutzen können, dann muss man nur etwas mehr rechnen)

Wenn du den Teil der Aufgabe verstanden hast kann ich dir auch gerne noch eine grobe Beweisidee ohne Induktion geben.

LG Dojima

Comments

Vielen Dank schonmal!

Dass du (n+1) aus dem Nenner raushaben möchtest, verstehe ich. Und auch sonst kann ich deine Schritte nach etwas Rechnerei gut nachvollziehen. Allerdings erschließt sich mir leider nicht, warum (1) gilt. Also warum lässt sich

$$\prod \limits_{i=1}^{n}(1+x_i)$$ durch 2_n ersetzen?

Ich habe dennoch versucht, das Ganze weiter aufzulösen und erstmal auf beiden Seiten durch (1+x_n+1) geteilt. Jetzt sieht es so aus:

$$(n+1) \prod \limits_{i=1}^{n}(1+x_i)+\prod \limits_{i=1}^{n}(1+x_i) \geq 2^n(\sum \limits_{i=1}^{n}x_i+ x_{n+1}\sum \limits_{i=1}^{n}x_i +1+ x_{n+1})$$

und dann

$$(n+1)*2* \prod \limits_{i=1}^{n}(1+x_i)\geq 2^n(1+\sum \limits_{i=1}^{n}x_i+ x_{n+1}\sum \limits_{i=1}^{n}x_i + x_{n+1}) $$

Das vorne ist ja jetzt schon mal schön & reicht denke ich dann für den Beweis. Aber wie bekomme ich die andere Seite (mit den Summen) in eine schönere (=praktischere) Form? (x_n+1 auszuklammern bringt mich denke ich nicht weiter, und auch ansonsten stehe ich irgendwie auf dem Schlauch.

Vielen Dank, dass du dir die Mühe machst, das ganze so ausführlich aufzuschreiben & zu erklären!!

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Zu (1):

Zum Aufwärmen überlege dir vielleicht mal, was \(\prod_{j=1}^n3\) ist. (was ist \(\sum_{j=1}^n3\))

Wichtig ist dann, dass kein "=" zwischen den zeilen steht, sondern ein "\(\geq\)". Das heißt bei (1) behaupte ich, dass $$ \prod_{i=1}^n(1+x_i)\geq2^n$$ gilt.
Dazu musst du nur benutzen, dass \(x_i\geq1\) (für \(i=1,\dots,n\)) und somit \((1+x_i)\geq2\).

Zum Rest:

Dein Ansatz passt hier nicht wirklich, ich habe weiter unten mal versucht zu erklären warum. Hier erstmal die Fortsetzung, die ich geplant hatte:

Was also noch zu tun ist, ist $$2^n\left(1+\sum_{i=1}^n x_i+x_{n+1}+x_{n+1}\cdot\sum_{i=1}^n x_i+1+x_{n+1}\right)\geq 2^{n+1}\left(1+\sum_{i=1}^{n+1}x_i\right)$$
zu zeigen. Dazu benutzt man einmal \(x_{n+1}\geq1\), also $$x_{n+1}\cdot\sum_{i=1}^nx_i\geq\sum_{i=1}^n x_i$$
Danach kannst du eine \(2\) ausklammern, \(x_{n+1}\) mit in die Summe ziehen und bist fertig.

Anmerkung:

Hier geht es eigentlich darum eine (Un-)gleichungskette aufzustellen. Das bedeutet man will eine Ungleichung \(T\geq U\) zeigen (wobei T und U einfach irgendwelche Terme sind). Nun lässt sich das meistens schwer in einem Schritt begründen, daher macht man mehrere kleine Schritte. Hier war also
$$ T=(n+1+1)\prod_{i=1}^{n+1}(1+x_i)$$ und $$ U=2^{n+1}\left(1+\sum_{i=1}^{n+1}x_i\right)$$
In mehreren Schritten ist das Ziel also eine Ungleichungskette der Form
$$T=T_1\geq T_2\geq\dots\geq T_k=U$$
aufzustellen und zu begründen.
Beide Seiten durch irgendwas teilen ist da eher nicht zielführend, da man dabei ja die ganze Ungleichungskette (insbesondere auch T und U) verändert.
(Man kann natürlich um einzelne Schritte zu begründen beide Seiten teilen oder Ähnliches und manchmal ist es auch sinnvoll das für die ganze Kette zu machen. Es braucht dann einfach Übung um zu wissen, wann man was machen will. Hier lässt sich aber jeder Schritt relativ einfach begründen)