Bestimmen Sie die Koeffizienten der Ebenengleichung

Question

Aufgabe:

Eine Ebene E: a₁x₁+ a₂x² + a₃x₃ = b soll durch den Ursprung gehen und mit den drei Koordinatenebenen jeweils den gleichen Winkel einschließen. Bestimmen Sie die Koeffizienten a₁ a₂ und a₃ sowie b. Berechnen Sie auch den Winkel.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das lösen?

Answer 1

überelege dir wie die Spurpunkte liegen müssen.

Answer 2

Eine Ebene E: a1x1+ a2x2 + a3x3 = b soll durch den Ursprung gehen und mit den drei Koordinatenebenen jeweils den gleichen Winkel einschließen. Bestimmen Sie die Koeffizienten a1 a2 und a3 sowie b. Berechnen Sie auch den Winkel.

Damit die Ebene durch den Ursprung geht, muss b = 0 sein. Dann können a1, a2 und a3 gleich 1 sein. Schaffst du es jetzt den Winkel von näherungsweisen 35.26° selbst zu berechnen?

Answer 3

Damit alle Ebenen gleichberechtigt sind, muss |a1|=|a2|=|a3| sein.

Da der Ursprung in der Ebene liegt, ist b einfach zu bestimmen.

Comments

Warum geht

a1 = a2 = - a3

nicht?

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Stimmt, es gibt ja mehrere Lösungen; ich komme auf vier.

Meine Antwort bezieht sich auf die naheliegendste, wobei der Winkel ja immer den gleichen Wert hat.

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Ich habe meine Antwort geändert.

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Daher hatte ich in meiner Antwort auch die naheliegendste Version

a1 = a2 = a3 = 1

gewählt. Dieses ist aber nur eine Möglichkeit von unendlich vielen Möglichkeiten.

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unendlich vielen Möglichkeiten

Ich komme nur auf vier verschiedene Ebenen.

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Es gibt auch nur 4 Ebenen aber Lösungswerte für die Parameter eben unendlich viele.

a1 = a2 = a3 = 1
a1 = a2 = a3 = 2
a1 = a2 = a3 = 3
a1 = a2 = a3 = 4
a1 = a2 = a3 = 5

wären z.B. 5 Lösungen von unendlich vielen Lösungen. Wobei hier Vorzeichenwechsel noch keine Verwendung finden.

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Dann sind wir uns ja einig.

:-)