Additionstheorem, sin(2x) - cos^2(x) = 0

Question

habe vor wenigen Tage meine Mathematik 1 Prüfung abgelegt und bin mir bei einer Aufgabe unsicher.

Zeigen Sie das im Bereich [0,2pi] gilt, dass sin2x - cos²x = 0 ... Habe folgendes gemacht!

sin2x - cos²x = 0           | für sin2x habe ich 2sinxcosx geschrieben

2sinxcosx - cos²x = 0         | cos ausklammern

cosx * (2sinx - cosx) = 0     |
Nun meine eigentliche Frage, es gibt ja die Formel sin²x + cos²x = 1, kann ich wenn ich aus allen drei Teilen die Wurzel schreiben, dass sinx + cosx = 1 ist ? oder ist das nicht möglich? Dann könnte ich ja nach cosx umstellen und hätte in der klammer nur noch sinus stehen.
Möglich oder nicht, oder ist der Lösungsweg vielleicht ganz anders?

Vielen lieben Dank

Answer 1

kann ich wenn ich aus allen drei Teilen die Wurzel schreiben, dass sinx + cosx = 1 ist ?

Nein. Das geht nicht. Grund √(a+b) ≠ √a + √b

cosx * (2sinx - cosx) = 0 

cosx = 0 ----> x1 = π/2 =90°, x2=3π/4 = 270°.

2sinx = cosx |: cosx

2 tanx = 1

tan x = 1/2

x3 = 26.57°

x4 = 206.57°

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+sin%282x%29+-+cos²x+%3D+0

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Vielen Dank für die schnelle Antwort, hat mir sehr geholfen :) !