Berechnung der Gewinnfunktion für Kostenfunktion K(x)=0,0002 x^3-0,008 x^2+0,2x+40.

Question

Gegeben sei die Kostenfunktion K(x)=0,0002 x^3-0,008 x^2+0,2x+40. Der Preis des Produktes verhält sich wie p(x)=0,2x+4.
Berechnen Sie die Gewinnfunktion und ihre Extrema.

Answer 1

G ( x ) = x * p ( x ) - K ( x ) 

= 0,2 x + 4 - ( 0,0002 x ³ - 0,008 x ² + 0,2 x + 40 )

= 0,2 x + 4 - 0,0002 x ³ + 0,008 x ² - 0,2 x - 40

= - 0,0002 x ³ + 0,08 x ² - 36

Extremstellen von G liegen höchstens an den Stellen x vor, für die gilt:

G ' ( x ) = 0

also:

G ' ( x ) = - 0,0006 x ² + 0,16 x = 0

<=> x ( - 0,0006 x + 0,16 ) = 0

<=> x = 0 oder - 0,0006 x + 0,16 = 0

<=> x = 0 oder 0,0006 x = 0,16

<=> x = 0 oder x = 0,16 / 0,0006 = 266,666...

Minimum dann, wenn G ' ' ( x ) > 0 , Maximum, wenn  G ' ' ( x ) < 0 , also:

G ' ' ( x ) = - 0,0012 x + 0,16

G ' ' ( 0 ) = 0,16 > 0 => Minimum bei x = 0

G ' ' ( 266,666...) = - 0,16 < 0 => Maximum bei x = 266,666...

Der Gewinn beträgt an diesen Stellen:

G ( 0 ) = - 0,0002 * 0 ³ + 0,08 * 0 ² - 36 = - 36

G ( 266,666...) = - 0,0002 * 266,666...³ + 0,08 * 266,666...² - 36 ≈ 1860,30