Berechnen Sie mit der Partialbruchzerlegung das bestimmte Integral.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufgabe 5-6 (Integration durch Partialbruchzerlegung) Berechnen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung das bestimmte Integral
$\int \limits_{3}^{4} \frac{x+1}{x^{2}-3 x+2} d x$
Hinweis: Die 5. Aufgabe ist die Partialbruchzerlegung und die 6. Aufgabe ist die Integration.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.

Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Aloha :)

Wir zerlegen zuerst den Integranden in seine Partialbrüche:$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-3x+2}=\pink{\frac{x+1}{(x-1)(x-2)}\stackrel!=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}}$$

Multipliziere die pinke Gleichung mit $(x-1)$ und setze danach $x=1$ ein:$$\frac{x+1}{x-2}=A+\frac{B}{x-2}(x-1)\stackrel{(x=1)}{\implies}\frac{2}{-1}=A+0\implies A=-2$$Multipliziere die pinke Gleichung mit $(x-2)$ und setze danach $x=2$ ein:$$\frac{x+1}{x-1}=\frac{A}{x-1}\cdot(x-2)+B\stackrel{(x=2)}{\implies}\frac{3}{1}=0+B\implies B=3$$

Damit ist also:$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-3x+2}=-\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-2}$$und wir können das Integral hinschreiben:$$I=\int\limits_3^4f(x)\,dx=\int\limits_3^4\left(-\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-2}\right)dx=\left[-2\ln|x-1|+3\ln|x-2|\right]_3^4$$$$\phantom I=(-2\ln3+3\ln2)-(-2\ln2+3\ln1)=-2\ln3+5\ln2=\ln(3^{-2})+\ln(2^5)$$$$\phantom I=\ln\frac19+\ln32=\ln\frac{32}{9}\approx1,2685\ldots$$

Answer 2

Verwende:

x²-3x+2 = (x-2)(x-1)

https://www.integralrechner.de/