0 Daumen
2,9k Aufrufe
Aufgrund der Preis-Absatz-Funktion für ein Gut ergibt sich, dass 1000 Stück dieses Gutes zu einem Preis von 15 € pro Stück abgesetzt werden können. Durch die Senkung des Preises um 1 € nimmt die Absatzmenge um jeweils 1000 Stück zu. Die Durchschnittskosten betragen konstant 10 €.

a) Bestimmen Sie die Funktionsterme der Erlös-, Kosten- und der Gewinnfunktion.

b) Bestimmen Sie die Absatzmenge und den Preis, bei denen der Gewinn am größten ist.

c) Geben Sie den maximalen Gewinn an.
von

1 Antwort

0 Daumen

Aufgrund der Preis-Absatz-Funktion für ein Gut ergibt sich, dass 1000 Stück dieses Gutes zu einem Preis von 15 € pro Stück abgesetzt werden können. Durch die Senkung des Preises um 1 € nimmt die Absatzmenge um jewils 1000 Stück zu. Die Durchschnittskosten betragen konstant 10 €.

a) Bestimmen Sie die Funktionsterme der Erlös-, Kosten- und der Gewinnfunktion.

p(x) = a * (x - px) + py = -1/1000 * (x - 1000) + 15 = 16 - x/1000

E(x) = x * p(x) = 16x - x^2/1000

K(x) = 10x

G(x) = E(x) - K(x) = 16x - x^2/1000 - 10x = 6x - x^2/1000

b) Bestimmen Sie die Absatzmenge und den Preis, bei denen der Gewinn am größten ist.

G'(x) = 6 - x/500 = 0
x = 3000 Stück

p(3000) = 19 Euro

c) Geben Sie den maximalen Gewinn an.

G(3000) = 9000 Euro

Hier noch eine Skizze

 

von 375 k 🚀
Hast du zu der Aufgabe a vielleicht noch eine kleine Erklärung?

Ich kann zwar nachvollziehen was du gemacht hast, aber nicht wie man daruf kommt.
Also wie man auf die Gleichung zu p(x) kommt ist mir ein Rätsel.
p(x) = a * (x - px) + py

ist die Gleichung einer Geraden mit Steigung a, die durch den Punkt P(px/py) geht.
Mathecoach verwendet hier eine Form der GEradengleichuung die man auch Punktsteigungsformel nennt, da man eine Steigung und einen Punkt einsetzen kann.

Du kannst auch

p(x) = ax + q ansetzen und dann P(px/py) einsetzen, um den Summanden q zu berechnen.

Lu hat recht. Ich habe die Punkt-Steigungs-Form benutzt. Die ist sehr hilfreich, wenn man einen Punkt der Punktion kennt und zusätzlich die Steigung oder auch zwei Punkte.

In Deinem Fall kennst Du Einen Punkt:

Aufgrund der Preis-Absatz-Funktion für ein Gut ergibt sich, dass 1000 Stück dieses Gutes zu einem Preis von 15 € pro Stück abgesetzt werden können.

Also P(1000) = 15 oder der Punkt P(1000 | 15)

 Durch die Senkung des Preises um 1 € nimmt die Absatzmenge um jewils 1000 Stück zu.

Aus dieser Angabe wird die Steigung deutlich. Wenn wir die Ausbringungsmenge x um 1000 erhöhen müssen wir den Preis um 1 senken. Das ist eine Steigung von -1/1000 pro Stück.

Das setzen wir dann in die Punkt-Steigungs-Form ein und multiplizieren aus.

 

Gibt es noch eine andere Möglichkeit die Steigung auszurechnen.

Vielleicht mit der Grundform y = mx + b ? Oder geht das nicht, weil ich ja nur einen Punkt weiß und dazu 2 Punkte wissen muss?

Die Steigung ist wie gesagt gegeben. Du müsstest für die Gleichung 

y = mx + b also nur den y-Achsenabschnitt bestimmen. Das macht man wenn man den Punkt in die Gleichung einsetzt und nach b auflöst.

Wie gesagt ist die Steigung aus dem Text bekannt und beträgt -1/1000

Der Preis fällt um 1 Euro pro 1000 Stück mehr verkauften Gütern.

Danke dir, denke immer zu kompliziert und übersehe, dass die Lösung schon da steht.

Ich glaub jetzt hab ich es endlich verstanden :D

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community