Wie hoch ist P(B), wenn A und B unabhaingig sind?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

2.19 Seien \( A \) und \( B \) zwei creignisse mit \( \mathbb{P}(A)=0,5 \) und \( \mathbb{P}(A \cup B)=0,7 \).
Wie hoch of \( \mathbb{P}(B) \), wrm
(a) A und \( B \) unabhaingig sind?
\( \begin{array}{l} \text { unathangig: } \mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B) \\ \qquad \mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B) \\ 0,7=0,5+x-0,5 x \\ 0,5 x=0,2 \\ x=0,4=\mathbb{P}(B) \end{array} \)
(b) A und B dispuntet sind?
\( \begin{array}{r} \text { disjunkt = unvereinzar: } \mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B) \\ 0,7=0,5+\mathbb{P}(B) \\ \mathbb{P}(B)=0,2 \end{array} \)
(C) \( D(A \mid B)=0,3 \) ?
\( \begin{aligned} \mathbb{P}(A \mid B) & =\frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \quad \mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A \cap B) \\ \mathbb{P}(A \mid B) & =\frac{P(A)+\mathbb{P}(B)-P(A \cup B)}{\mathbb{P}(B)} \\ 0,3 & =\frac{0,5+x-0,7}{x} \mid \cdot x \\ 0,3 x & =0,5+x-0,7 \\ 0,7 x & =0,2 \\ x & =\frac{2}{7}=\mathbb{P}(B) \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l} \text { (d) } P(A \mid B)=0,5 \text { ? } \\ 0,5=\frac{x-0,2}{x} \mid \cdot x \\ 0,5 x=x-0,2 \\ 0,5 x=0,2 \\ x=0,4=\mathbb{P}(B) \\ \end{array} \)

Hallo! Habe ich richtig gemacht, indem ich die Siebformel umgeformt habe, um ℙ(A∩B) zu bekommen?
LG

Answer 1

Aloha :)

Aus der Aufgabenstellung: \(\quad P(A)=0,5\quad;\quad P(A\cup B)=0,7\quad;\quad P(B)=\,???\)

zu a) \(A\) und \(B\) sind unabhängig, das heißt: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0,5\cdot P(B)\)$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\quad\big|\text{einsetzen}$$$$0,7=0,5+P(B)-0,5\cdot P(B)\quad\big|\text{rechts zusammenfassen}$$$$0,7=0,5+0,5\cdot P(B)\quad\big|-0,5$$$$0,2=0,5\cdot P(B)\quad\big|\cdot2$$$$P(B)=0,4$$

zu b) \(A\) und \(B\) sind disjunkt, das heißt: \(A\cap B=\emptyset\) bzw. \(P(A\cap B)=0\)$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)\quad\implies$$$$P(B)=P(A\cup B)-P(A)=0,7-0,5=0,2$$

zu c) \(P(A|B)=0,3\)

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)+P(B)-P(A\cup B)}{P(B)}\quad\bigg|\text{rechts vereinfachen}$$$$P(A|B)=1+\frac{P(A)-P(A\cup B)}{P(B)}\quad\bigg|-1$$$$P(A|B)-1=\frac{P(A)-P(A\cup B)}{P(B)}\quad\bigg|\text{Kehrwerte}$$$$\frac{1}{P(A|B)-1}=\frac{P(B)}{P(A)-P(A\cup B)}\quad\bigg|\cdot(\,P(A)-P(A\cup B\,)$$$$P(B)=\frac{P(A)-P(A\cup B)}{P(A|B)-1}=\frac{P(A\cup B)-P(A)}{1-P(A|B)}\quad\bigg|\text{einsetzen}$$$$P(B)=\frac{0,7-0,5}{1-0,3}=\frac{0,2}{0,7}=\frac27$$

zu d) \(P(A|B)=0,5\)$$P(B)=\frac{0,7-0,5}{1-0,5}=\frac{0,2}{0,5}=\frac25$$

$$\pink{\text{Ich kann alle deine Ergebnisse bestätigen}\quad\checkmark}$$