Im abgebildeten Trapez ist die Seite DC halb so lang wie der Vektor b. In welchem Verhältnis teilt der Schnittpunkt …

Question

Hallo, ich habe Schwierigkeiten bei der folgenden Aufgabe:

Im abgebildeten Trapez ist die Seite DC halb so lang wie der Vektor b. In welchem Verhältnis teilt der Schnittpunkt S die Diagonalen DB und AC?

Ich war folgendermaßen vorgegangen:

AD + DS + SA = 0

AD + α DB - β AC = 0

AD = a

DB = DA + AB = - a + b

AC = AD + DC = a + 0,5 b

a + α (- a + b) + β (a + 0,5 b) = 0

Ab hier komme ich nicht mehr weiter. In meinem Buch steht zu einer ähnlichen Aufgabe: "Wir nutzen aus, dass a und b aufgrund ihrer unterschiedlichen Richtungen linear unabhängig (nicht kollinear) sind. Die Koeffizienten ... sind also jeweils 0." Das hatte ich auch nicht verstanden.

Ich freue mich über eure Hilfe.

Answer 1

Hallo,

du musst die Klammern auflösen, nach a und b sortieren und ausklammern.

a + α (- a + b) + β (a + 0,5 b) = o          ( o : Nullvektor)

a-α•a+α•b+β•a+β•0,5b = o

1•a-α•a+β•a +α•b+β•0,5b = o

a(1-α+β) + b(α+0,5β) = o

Da a und b linear unabhängig sind, müssen beide Klammerterme gleich Null sein, und du kannst α und β berechnen.

:-)

PS

Betrachte d= r•a+s•b mit r≠0 und s≠0.

Der Vektor d entspricht einer Diagonale im von ra und sb aufgespannten Parallelogramm. Wenn die Diagonale die Länge Null haben soll, müssen r und s beide Null sein.

Comments

Kann sein, dass ich grad total auf dem Schlauch stehe aber wie komme ich von

a + α (- a + b) + β (a + 0,5 b) = o

zu

a(1-α+β) + b(α+0,5β) = o

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

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Ich könnt schwören, genau das hätte ich gemacht ( ͡⚆ ͜ʖ ͡⚆)

Wie dem auch sei, vielen vielen Dank für deine Hilfe!

Answer 2

Wähle S als Steckzentrum für das Dreieck CDS mit dem Streckfaktor -2. Dann erhältst du das Dreieck ABS.