Bestimme min f_n ([0,1]) und Max f_n ([0,1])

Question

Aufgabe:

Für n element N* sei f_n : [0,1] →R durch

Text erkannt:

$f_{n}(x):=\sin ^{n}(x) e^{-2 n \sin (x)}$

definiert.

a) Bestimme min f_n ([0,1]) und Max f_n ([0,1])

b) Bestimme ohne das Integral zu berechnen,

Text erkannt:

$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{1} f_{n} d x$

Answer 1

Aloha :)

Das Minimum der Funktionenschar$$f_n(x)\coloneqq\sin^n(x)\cdot e^{-2n\sin(x)}\quad;\quad x\in[0;1]\quad;\quad n\in\mathbb N$$ist stets $f_n(0)=0$, denn für $x\in[0;1]$ ist $\sin(x)\ge0$ und die $e$-Funktion ist stets positiv.

Zur Bestimmung des Maxiums brauchen wir die Nullstellen der ersten Ableitung:$$f'_n(x)=\left(\underbrace{\sin^n(x)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-2n\sin(x)}}_{=v}\right)'$$$$\phantom{f'_n(x)}=\underbrace{n\sin^{n-1}(x)\cos(x)}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{-2n\sin(x)}}_{=v}+\underbrace{\sin^n(x)}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{-2n\sin(x)}}^{\text{äußere A.}}\cdot\overbrace{(-2n\cos(x))}^{\text{innere A.}}}_{=v'}$$$$\phantom{f'_n(x)}=n\sin^{n-1}(x)\cos(x)\,e^{-2n\sin(x)}\left(1+\sin(x)\cdot(-2)\right)$$$$\phantom{f'_n(x)}=n\underbrace{\sin^{n-1}(x)}_{>0\text{ für }x\in(0;1]}\,\underbrace{\cos(x)}_{>0\text{ für }x\in[0;1]}\,\underbrace{e^{-2n\sin(x)}}_{>0}\left(1-2\sin(x)\right)$$

Die erste Ableitung wird nur $0$, wenn die letzte Klammer $0$ wird, also für $\sin(x)=\frac12$ bzw. für $x=\arcsin\left(\frac12\right)=\frac\pi6\in[0;1]$.

$$f_n\left(\frac\pi6\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot e^{-2n\cdot\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{2}\cdot e^{-1}\right)^n=\frac{1}{(2e)^n}$$

Dieses Maximum konvergiert für $n\to\infty$ gegen Null, sodass gilt:$$0\le f_n(x)\le\frac{1}{(2e)^n}\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=0$$

Damit ist das Integral klar:$$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1f_n(x)\,dx=\int\limits_0^1\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\,dx=0$$

Comments

Bei der Ableitung hast du beim Ausklammern den $\cos$ im hinteren Term gelassen. Der hintere Faktor müsste $(1-2\sin x)$ sein und das Maximum bei $x=\frac{\pi}6$ eintreten.

---

Ja natürlich, ich Dussel...

Vielen lieben Dank, ich habe es korrigiert.

---

Am Ende vertauschst du den Limes mit der Integrationsreihenfolge. Das erfordert normalerweise das Aufführen von guten Gründen, wieso man das darf.
Deshalb empfehle ich, lieber mit dem Sandwich-Theorem zu argumentieren:
$$0\leq \int_0^1f_n\,dx \leq \max_{[0,1]}f_n \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0$$

Answer 2

Das Maximum von f_n liegt im Intervall [0,1]. Links vom Maximum steigt der Funktionsgraph im Intervall [0,1]. Rechts vom Maximum fällt der Funktionsgraph im Intervall [0,1]. Für n→∞ Geht der Wert des Maximums gegen 0. Damit geht auch die Fläche unter dem Graphen gegen 0. $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{1} f_{n} d x$=0