Dreiecksungleichung bei Metriken

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass E^2 eine Metrik mit d(x,y) := |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| bildet.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte beim Beweis der Dreiecksungleichung helfen? Wie geht man bei solche Aufgaben dabei vor? Vielen Dank im Voraus.

Comments

Was ist denn \(E^2\) ?

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Ich habe die Aufgabe aus einer englischen Seite geholt. Das wäre die Menge X

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Aha, jetzt bin ich genauso schlau wie vorher, \(E^2\) wurde durch \(X\) ersetzt.

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Das ganze ding befindet sich in R² und x und y haben beide zwei Werten

Answer 1

Seien \(x=(x_1,x_2),\; y=(y_1,y_2),\; z=(z_1,z_2)\). Dann gilt

\(d(x,z)=|x_1-z_1|+|x_2-z_2|=\)

\(=|x_1-y_1+y_1-z_1|+|x_2-y_2+y_2-z_1|\leq \)

\(\leq |x_1-y_1|+|y_1-z_1|+|x_2-y_2|+|y_2-z_2|=d(x,y)+d(y,z)\)