Zeigen, dass G = R^{m×n} mit der Addition von Matrizen eine abelsche bzw. kommutative Gruppe bildet

Question

Aufgabe:

Zeigen, dass G=R^mxn mit der Assition von Matrizen eine abschle bzw. kommutative Gruppe bildet.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass hierfür die Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und Existenz eines inversen Elements gezeigt werden muss - zusätzlich dann noch die Kommutativität. Prinzipiell nicht so schwer, da aber die Angebe mit G=R^mxn sehr allgemein ist, weiß ich nicht, wie ich Anfangen soll bzw. wie ich die Matrix darstelle

Answer 1

Zur Assoziativität:

Matrizen in \(G\) sind nichts anderes als Abbildungen

\(A: \{1,\cdots,m\}\times \{1,\cdots,n\}\rightarrow \mathbb{R}\)

mit argumentweiser Addition, d.h. für \(A,B\in G\) gilt

\((A+B)(x)=A(x)+B(x)\) für alle \(x\in \{1,\cdots,m\}\times \{1,\cdots,n\}\).

Für alle diese \(x\) gilt dann

\(((A+B)+C)(x)=(A+B)(x)+C(x)=(A(x)+B(x))+C(x)=\)

Assoz. in \(\mathbb{R}\):

\(=A(x)+(B(x)+C(x))=A(x)+(B+C)(x)=(A+(B+C))(x)\),

Da dies für alle \(x\in \{1,\cdots,m\}\times \{1,\cdots,n\}\) gilt, hat man

\((A+B)+C=A+(B+C)\).