Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion bei nicht konstanter Funktion

Question

Aufgabe:

Für eine nicht konstante Funktion f: ℝ → ℝ gilt für alle x ∈ ℝ die Beziehung
f(x + 1) = 3 · f(x).

Geben Sie eine Gleichung einer solchen Funktion f an

Problem/Ansatz:

Answer 1

Wenn f(0)=0 dann folgt f(n)=0 also f=const , deshalb  für a≠0 f(0)=a  -> f(1)=3a -> f(2)=3^2*a usw. kannst du jetzt so ne Funktion sehen?

Gruß lul

Comments

f(n)=0 also f=const

verstehe ich nicht. (Außer die Überschrift gehört mit zur Aufgabe – was ja im Allgemeinen nie so ganz klar ist.)

Answer 2

Du lieferst ja schon die halbe Antwort: "Exponentialfunktion"

Ansatz:    f(x) = a · b^x

Dann wäre  f(x+1) = a · b^x+1

Bedingung:

f(x+1) = 3 · f(x) ,  also  a · b^x+1 = 3 · a · b^x

Daraus kann man schließen (wie?), dass b = 3  sein muss (und sonst nichts).

Jede Funktion f der Form  f(x) = a · 3^x  erfüllt also die Bedingung.

Damit die Funktion nicht konstant ist, muss man noch  a ≠ 0  verlangen.

Comments

und woher weiss ich, dass die Funktion kein c hat, also nicht in positive/negative y-Richtung verschoben ist? das war nämlich mein Problem (hab vergessen das zu kommentieren)