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Sei V ein endlich-dimensionaler Hilbertraum u¨ber KR,C und seien f,gEnd(V).\text{Sei V ein endlich-dimensionaler Hilbertraum über } K \in{{\mathbb R, \mathbb C}} \text{ und seien } f,g \in End(V).

 Endomorphismen, die untereinander kommutieren, d.h. es geltefg=gf. Sei f selbstadjungiert. Zeigen Sie : \text{ Endomorphismen, die untereinander kommutieren, d.h. es gelte} f \circ g = g\circ f. \text{ Sei f selbstadjungiert. Zeigen Sie:}

(a) Fu¨r alleλK gelten : g(Ef(λ))Ef(λ) und g(Ef(λ))Ef(λ).(a) \text{ Für alle} \lambda \in K \text{ gelten:} g(E_f(\lambda))\subseteq E_f(\lambda) \text{ und } g(E_f(\lambda)^{\perp}) \subseteq E_f(\lambda)^\perp.
(b) Ist g normal bzw. selbstadjungiert, so ist gEf(λ) normal bzw. selbstadjungiert.(b) \text{ Ist g normal bzw. selbstadjungiert, so ist }g\mid_{E_f(\lambda)} \text{ normal bzw. selbstadjungiert.}                 (c) Seien f und g selbstadjungiert. Fu¨λ,μR definiere den simultanen Eigenraum zum Eigenwert λ von f und μ von g durch : (c) \text{ Seien f und g selbstadjungiert. Für }\lambda, \mu \in \mathbb R \text{ definiere den simultanen Eigenraum zum Eigenwert } \lambda \text{ von f und } \mu\text{ von g durch:}

Ef,g(λ,μ) : =Ef(λ)Eg(μ) Dann giltV=(λ,μ)R2Ef(λ,μ).E_{f,g}(\lambda,\mu) := E_f(\lambda) \cap E_g(\mu) \text{ Dann gilt} V= *_{(\lambda,\mu)\in \mathbb R^2} E_f(\lambda,\mu). (* = ein Kreis mit Orthogonal-Symbol drin (geht bei Latex irgendwie nicht)

 Insbesondere exisiert eine Orthonormalbasis von V aus simultanen Eigenvektoren zu f und g. \text{ Insbesondere exisiert eine Orthonormalbasis von V aus simultanen Eigenvektoren zu f und g.}

Verwenden Sie zur Lo¨sung die folgenden Aussagen : \text{Verwenden Sie zur Lösung die folgenden Aussagen:}

(i) Ist f selbstadjungiert, so gilt V=λREf(λ). \text{(i) Ist f selbstadjungiert, so gilt } V = *_{\lambda \in \mathbb R }E_f(\lambda).

(ii) Ist g normal und gilt g(U)U und g(U)U fu¨UV ein Untervektorraum, so gilt gad(U)U\text{(ii)} \text{ Ist g normal und gilt } g(U) \subset U \text{ und } g(U^{\perp})\subset U^\perp \text{ für } U \subset V \text{ ein Untervektorraum, so gilt } g^{ad}(U) \subset U

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