Sei V ein endlich-dimensionaler Hilbertraum u¨ber K∈R,C und seien f,g∈End(V).
Endomorphismen, die untereinander kommutieren, d.h. es geltef∘g=g∘f. Sei f selbstadjungiert. Zeigen Sie :
(a) Fu¨r alleλ∈K gelten : g(Ef(λ))⊆Ef(λ) und g(Ef(λ)⊥)⊆Ef(λ)⊥.
(b) Ist g normal bzw. selbstadjungiert, so ist g∣Ef(λ) normal bzw. selbstadjungiert. (c) Seien f und g selbstadjungiert. Fu¨r λ,μ∈R definiere den simultanen Eigenraum zum Eigenwert λ von f und μ von g durch :
Ef,g(λ,μ) : =Ef(λ)∩Eg(μ) Dann giltV=∗(λ,μ)∈R2Ef(λ,μ). (* = ein Kreis mit Orthogonal-Symbol drin (geht bei Latex irgendwie nicht)
Insbesondere exisiert eine Orthonormalbasis von V aus simultanen Eigenvektoren zu f und g.
Verwenden Sie zur Lo¨sung die folgenden Aussagen :
(i) Ist f selbstadjungiert, so gilt V=∗λ∈REf(λ).
(ii) Ist g normal und gilt g(U)⊂U und g(U⊥)⊂U⊥ fu¨r U⊂V ein Untervektorraum, so gilt gad(U)⊂U
Wäre dankbar für jegliche Hilfe! :)