Wie untersucht man die Konvergenz bei komplexen Folgen?

Question

Aufgabe:

Untersuche die Folge auf Konvergenz:

(1/2 + 1/2 * i) ^ n

Problem/Ansatz:

Wie untersucht man die Konvergenz bei komplexen Folgen? Wie geht man da vor?

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Konvergenz von Real- und Imaginärteil unabhängig voneinander untersuchen:

$$z_n=\left(\frac12+\frac12\,i\right)^n=\left(\frac{1+i}{2}\right)^n=\frac{(1+i)^n}{2^n}=\frac{\left(\sqrt2\,e^{i\pi/4}\right)^n}{2^n}=\frac{(\sqrt2)^n\,e^{in\pi/4}}{2^n}=\frac{e^{in\pi/4}}{(\sqrt2)^n}$$$$\phantom{z_n}=\frac{\cos\left(n\,\frac\pi4\right)}{2^{n/2}}+i\,\frac{\sin\left(n\,\frac\pi4\right)}{2^{n/2}}\to0+i\cdot0=0$$

Answer 2

Hallo

wenn der Betrag konvergiert, dann auch z selbst, oder auch Re und Im müssen konvergieren

das kannst du auch leicht sehen, wenn du z  als r*e^iφ schreibst

Gruß lul