Verlauf des Graphen - Ableitung einer Exponentialfunktion

Question

Hallo ich soll den Verlauf des Graphen bestimmen, habe jedoch Probleme bei der 1. und 2. Ableitung. Aber bevor ich zur zweiten komme, muss ich die erste verstehen hm :/

f(x)= 2^{2(x^2+2x+2)}  

Laut wolfram alpha ist das die Lösung:

f'(x) = ln(2) * 2^{2(x^2+2x+2)+1} * (x+1)

Meine Frage ist warum +1 im Exponenten steht, zieht man bei Ableitungen nicht 1 ab? und wieso (x+1) .. ich hätte es als (2x+2) abgeleitet. Kann das man so vereinfachen?

Danke für die Hilfe (:

Answer 1

f(x) = 2^(2·(x^2 + 2·x + 2))

Mach's dir einfacher und multipliziere den Exponenten aus

f(x) = 2^(2·x^2 + 4·x + 4)

Ableitung mittels Kettenregel.

f'(x) = ln(2)·2^(2·x^2 + 4·x + 4)·(4·x + 4)

Klammer den Faktor 4 aus

f'(x) = ln(2)·2^(2·x^2 + 4·x + 4)·4·(x + 1)

f'(x) = ln(2)·2^(2·x^2 + 4·x + 4)·2^2·(x + 1)

Fasse die Potenzen zusammen

f'(x) = ln(2)·2^(2·x^2 + 4·x + 4 + 2)·(x + 1)
f'(x) = ln(2)·2^(2·x^2 + 4·x + 6)·(x + 1)

Jetzt siehst du auch das deine notierte Ableitung nicht ganz richtig ist. die + 1 würde in die Klammer im Exponenten gehören.

Answer 2

fürs Ableiten mit Weg:

https://www.ableitungsrechner.net/