Beweis offene Mengen

Question

Kann mir jemand helfen? Ich weiß irgendwie nicht, wie ich an die Sache rangehen soll. Hat jemand eine Lösung für mich?

Answer 1

Hallo,

zu \( \Rightarrow: \) Sei \( x \in U \). Da \(U\) offen in \((X,d_1)\), existiert \(r>0: \, B^{d_1}(x,r) \subset U \), wobei \(B^{d_1}(x,r) = \lbrace{y\in X \,:\, d_1(x,y) < r\rbrace} \). Setze \( r^\prime= r\cdot c_1>0 \). Dann gilt für alle \(y\in\,B^{d_2}(x,r^\prime):\)

\(d_1(x,y) \leq1/c_1 \cdot d_2(x,y) < 1/c_1 \cdot r^\prime = r, \)

also \(y \in B^{d_1}(x,r) \).

\(\Rightarrow B^{d_2}(x,r^\prime) \subset B^{d_1}(x,r) \subset U \), mithin \(U\) offen in \((X,d_2)\)

Comments

Würde die Rückrichtung dann auch so funktionieren oder wie sieht es da aus?

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Wenn du die eine Richtung verstanden hast, sollte die andere kein Problem sein.