Eigenwert mit Vielfachheit 3

Question

Ich habe einen Eigenwert mit Vielfachheit 3, aber ich bekomme nur zwei linear unabhängige Eigenvektoren.

Punkt a und b habe ich bereits erledigt.

Bei Punkt c) komme ich nicht weiter: Ich bekomme für v3 = rv1 + sv2. Wie finde ich einen dritten linear unabhängige Eigenvektor?

Text erkannt:

Aufgabe 6.4. Wir betrachten das homogene lineare System $\dot{\vec{x}}=A \vec{x}$ von Differentialgleichungen mit
$A=\left(\begin{array}{lll} 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{array}\right)$
Der einzige Eigenwert von $A$ ist $\lambda_{1}=1$ und dieser Eigenwert hat Vielfachheit 3 (dies dürfen Sie ohne Beweis verwenden).
(a) Zeigen Sie, dass der allgemeine Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_{1}=1$ von der Form $r \vec{v}_{1}+s \vec{v}_{2}$ mit $(r, s) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$ ist, wobei
$\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \quad \vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) .$
Wir wissen aus der Vorlesung, dass $\vec{y}_{1}(t)=e^{\lambda_{1} t} \vec{v}_{1}$ und $\vec{y}_{2}(t)=e^{\lambda_{1} t} \vec{v}_{2}$ Lösungen des Systems sind.
(b) Rechnen Sie nach, dass es keinen Vektor $\vec{v}$ gibt mit $\left(A-\lambda_{1} I_{3}\right) \vec{v}=\vec{v}_{1}$ oder mit $\left(A-\lambda_{1} I_{3}\right) \vec{v}=\vec{v}_{2}$.
(c) Ermitteln Sie einen Vektor $\vec{v}_{3}$ mit $\left(A-\lambda_{1} I_{3}\right) \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}$ und rechnen Sie nach, dass $\vec{y}_{3}(t)=$ $e^{\lambda_{1} t}\left(\vec{v}_{3}+t\left(\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}\right)\right)$ eine Lösung des Systems ist.

Comments

Wie finde ich einen dritten linear unabhängige Eigenvektor?

Gar nicht! Der Eigenraum hat Dimension 2,bzw. der Eigenwert geometrische Vielfachheit 2.

Du suchst aber auch gar keinen weiteren Eigenvektor, sondern nur die Lösung des angegeben LGS

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Danke, dir! Hab es gelöst :)