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Für jedes n∈N n \in \mathbb{N} n∈N sei fn : [1,4]→R f_{n}:[1,4] \rightarrow \mathbb{R} fn : [1,4]→R monoton wachsend. Der Grenzwert f=limn→∞fn f=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n} f=n→∞limfn existiere punktweise.Beweise oder widerlege: Dann ist zwangsläufig f f f monoton wachsend.(Falls die Aussage falsch ist: Unter welcher Zusatzvoraussetzung könntest du sie beweisen? Falls sie richtig ist: Gilt Entsprechendes auch für strenge Monotonie (also ,„alle fn f_{n} fn streng monoton“ ⟹,f \Longrightarrow, f ⟹,f streng monoton")?)
Komme hier leider garnicht weiter
Seien x0,x1∈[1,4]x_0,x_1\in [1,4]x0,x1∈[1,4] mit x0<x1x_0 < x_1x0<x1.
Begründe warum limn→∞fn(x0)≤limn→∞fn(x1)\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x_0)\leq \lim\limits_{n\to \infty}f_n(x_1)n→∞limfn(x0)≤n→∞limfn(x1) ist.
Für strenge Monotonie gilt entsprechendes nicht. Finde eine geeignete Funktionenfolge.
Sind meine Überlegungen richtig:
- Da der Grenzwert limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞limfn = f ∀x∈[1,4] existiert, und fn für alle n∈ℕ monoton wachsend ist, gilt ja: fn(x0) ≤ fn(x1) für alle n. Gilt dann nicht automatisch das gleiche wenn ich n→∞ laufen lasse?
- Für strenge Monotonie gilt das nicht, da fn für alle n streng monoton wachsend sein kann und für n→∞ gegen f(x)=c konvergiert. In diesem Fall ist f dann nicht streng monoton wachsend.
Gilt dann nicht automatisch das gleiche wenn ich n→∞ laufen lasse?
Ja. Das müsstest du eigentlich irgendwo in deiner Sammlung von Rechenregeln für Grenzwerte finden.
da fn für alle n streng monoton wachsend sein kann und für n→∞ gegen f(x)=c konvergiert.
Die Idee ist richtig. Du musst sie jetzt nur noch konkretisieren indem du einen Wert für ccc und eine Folge (fn)n∈N(f_n)_{n\in \mathbb{N}}(fn)n∈N von Funktionen angibst.
Ich hätte da an folgendes gedacht:
Sei fn(x)= -(4-x)e−nx e^{-nx} e−nx
Dann gilt: limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞limfn(x)= f(x) = 0 ∀x∈[1,4]
Die Funktion ist streng monoton wachsend im Intervall und konvergiert punktweise gegen f(x) und f ist eindeutig nicht streng monoton wachsend.
Passt das als Beispiel oder habe ich irgendwo einen Denkfehler gemacht?
Sei fn(x)= -(4-x)e−nx
Stimmt so.
Ich hätte da an fn(x)=1n⋅xf_n(x) = \frac{1}{n}\cdot xfn(x)=n1⋅x gedacht, aber du darfst das Beispiel natürlich so kompliziert machen, wie du das möchtest :-)
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