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Hallo, wie geht man an die Aufgabe ran?

In den Klammern steht, dass die ersten 4 Terme der Potenzreihen bestimmt werden sollen. Heißt das, dass man bei z.B. log(1+x) für k0-3 einsetzt? Ich komme nicht ganz weiter und alleine durch das Einsetzten kann die Aufgabe noch nicht gelöst sein. Ich bedanke mich im Voraus


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Betrachte eine allgemeine Reihe f(x)=c0+c1x+c2x2+c3x3+O(x4).O(x4) f(x)=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+O\left(x^{4}\right) . O\left(x^{4}\right) bedeutet hier Terme der Ordnung x4 x^{4} und höher.
a) Berechne die Koeffizienten so, dass f(x)f(x)=1+x+O(x4) f(x) \cdot f(x)=1+x+O\left(x^{4}\right) gilt. (Bestimme also die ersten vier Terme der Potenzreihe von f(x)=1+x f(x)=\sqrt{1+x} .).
b) Berechne die Koeffizienten so, dass exp(f(x))=1+x+O(x4) \exp (f(x))=1+x+O\left(x^{4}\right) gilt. (Bestimme also die ersten vier Terme der Potenzreihe von f(x)=log(1+x) f(x)=\log (1+x) .)
c) Berechne die Koeffizienten von sin(3x) \sin (3 x) und cos(3x) \cos (3 x) bis inklusive Ordnung 4 (Verwende z.B. cos(3x)+ \cos (3 x)+ isin(3x)=exp(i3x)=(cos(x)+isin(x))3) \left.i \sin (3 x)=\exp (i 3 x)=(\cos (x)+i \sin (x))^{3}\right)

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(a)  f(x)=1+x=c0+c1x+c2x2+c3x3+O(x4)f(x)=\sqrt{1+x}=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+O(x^4)f(x)f(x)=1+x=(c0+c1x+c2x2+c3x3+O(x4))(c0+c1x+c2x2+c3x3+O(x4))=c02+2c0c1x+(2c0c2+c12)x2+(2c0c3+2c1c2)x3+O(x4).\begin{aligned}f(x)\cdot f(x)&=1+x\\&=(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+O(x^4))\cdot(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+O(x^4))\\&=c_0^2+2c_0c_1x+(2c_0c_2+c_1^2)x^2+(2c_0c_3+2c_1c_2)x^3+O(x^4).\end{aligned}Koeffizientenvergleich liefert    {c02=1    c0=12c0c1=1    c1=122c0c2+c12=0    c2=182c0c3+2c1c2=0    c3=116.\implies\left\lbrace\begin{array}{rcl}c_0^2=1&\implies&c_0=1\\2c_0c_1=1&\implies& c_1=\frac12\\2c_0c_2+c_1^2=0&\implies&c_2=-\frac18\\2c_0c_3+2c_1c_2=0&\implies&c_3=\frac1{16}.\end{array}\right.Bemerkung: Die Lösung c0=1c_0=-1 entfällt wg. c0=f(0)=1c_0=f(0)=1.

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Wie kommt man beim Koeffizienten Vergleich auf die 1,1,0,0? Danke im Voraus

Es soll geltenf(x)f(x)=1+x=1+1x+0x2+0x3.f(x)\cdot f(x)=1+x=\red1+\red1\cdot x+\red0\cdot x^2+\red0\cdot x^3.Die beiden ersten Koeffizienten sind 11, die aller höheren Potenzen von xx sind 00.

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