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Aufgabe:

Für welche Werte von x konvergieren die folgenden Potenzreihen?

a) 
\( \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \cdot 2^{-k} (x-3)^k \)


b)

\( \sum_{k=0}^{\infty} \left(k+1\right) \cdot \frac{(x+2)^k}{3^{2k-1}} \)



Problem/Ansatz:

Hat jemand hier einen Ansatz womit ich anfangen könnte. ich weiß halt lim k-> unendlich = ak+1/ak aber was genau ist bei den aufgaben ak und was ak+1. hat jemand tipps wie ich hier anfangen könnte

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a) 2^(-k)* (x-3)^k =  ((x-3)/2)^k

b) (x+2)^k/(3^(2k-1)) =  3*((x+2)/9))^k

hmm gibts noch einen anderen weg als solche umformungen? auf sowas würde ich halt leider nie kommen.

Der Betrag der Quotienten muss kleiner 1 sein.

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Konvergenter_Fall

Was muss ich jz genau machen

2 Antworten

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Aloha :)

zu a) Wir schreiben die Potenzreihe etwas um:$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\underbrace{\frac{k^2}{2^k}}_{\eqqcolon a_k}\cdot(x-3)^k$$Nun kannst du den Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe bestimmen:$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{k^2}{2^k}}{\frac{(k+1)^2}{2^{k+1}}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k^2}{2^k}\cdot\frac{2^{k+1}}{(k+1)^2}\right|$$$$\phantom r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{k+1}}{2^k}\cdot\frac{k^2}{(k+1)^2}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|2\cdot\left(\frac{k}{k+1}\right)^2\right|$$$$\phantom r=2\cdot\lim\limits_{k\to\infty}\left|\left(\frac{(k\pink{+1})\pink{-1}}{k+1}\right)^2\right|=2\cdot\lim\limits_{k\to\infty}\left|\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^2\right|=2\cdot1^2=2$$

Die Potenzreihe konvergiert daher sicher, wenn:$$|x-3|<r\implies|x-3|<2\implies-2<x-3<2\stackrel{+3}{\implies}\pink{1<x<5}$$

An den Rändern des pinken Intervalls kann noch Konvergenz vorliegen, muss aber nicht. Daher prüfen wir die beiden Ränder einzeln ab:$$f(\pink1)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k^2}{2^k}\cdot(-2)^k=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\cdot k^2\quad\mapsto\text{divergent}$$Da \((k^2)\) keine Nullfolge ist, divergiert \(f(\pink1)\).

$$f(\pink3)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k^2}{2^k}\cdot(2)^k=\sum\limits_{k=0}^\infty k^2\quad\mapsto\infty$$Da \((k^2)\) keine Nullfolge ist, divergiert \(f(\pink3)\).

Die Potenzreihe konvergiert also für \(\pink{x\in(1|5)}\).


zu b) Auch diese Potenzreihe formen wir zunächst etwas um:$$\small g(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k+1}{3^{2k-1}}\cdot(x+2)^k=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k+1}{\green{3^{2k}}\cdot\blue{3^{-1}}}\cdot(x+2)^k=\blue3\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\underbrace{\frac{k+1}{\green{9^k}}}_{\eqqcolon a_k}\cdot(x+2)^k$$Wieder bestimmen wir den Konvergenzradius:$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{k+1}{9^k}}{\frac{k+2}{9^{k+1}}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k+1}{9^k}\cdot\frac{9^{k+1}}{k+2}\right|$$$$\phantom r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k+1}{k+2}\cdot\frac{9^{k+1}}{9^k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{(k+2)-1}{k+2}\cdot\frac{9^k\cdot9}{9^k}\right|$$$$\phantom r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\left(1-\frac{1}{k+2}\right)\cdot9\right|=1\cdot9=9$$

Die Potenzreihe konvergiert daher sicher, wenn:$$|x+2|<r\implies |x+2|<9\implies-9<x+2<9\stackrel{-2}{\implies}\pink{-11<x<7}$$

An den Rändern des pinken Intervalls müssen wir die Konvergenz noch prüfen:$$g(\pink{-11})=3\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k+1}{9^k}\cdot(-9)^k=3\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\cdot(k+1)\quad\mapsto\text{divergent}$$Da \((k+1)\) keine Nullfolge ist, divergiert \(f(\pink{-11})\).

$$g(\pink{7})=3\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k+1}{9^k}\cdot9^k=3\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty(k+1)\quad\mapsto\infty$$Da \((k+1)\) keine Nullfolge ist, divergiert \(f(\pink{-7})\).

Die Potenzreihe konvergiert also für \(\pink{x\in(-11|7)}\).

Avatar von 151 k 🚀
+1 Daumen

Die allgemeine Form einer Potenzreihe (siehe Deine Vorlesungsunterlagen) ist \(\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k\).

Vergleiche das mit den hier gegebenen und finde damit \(x_0\) und \(a_k\). Merkregel: \(a_k\) ist der Faktor bei \((x-x_0)^k\).

Mit den \(a_k\) gehst Du in eine der Formeln für den Konvergenzradius, die in Deinen Unterlagen stehen. Bei Problemen melde Dich mit Deiner Rechnung und konkreter Frage zu der Stelle, wo Du nicht weiterkommst.

Avatar von 8,2 k

also ak=k^2/2^k?

Ja genau (bei a)).

Schöne Antwort, aber die Lösung wird ja mal wieder auf dem Silbertablett serviert.

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