Lösen Sie die Gleichung x3-24x-72=0 in C und stellen sie dann mit e als Linearkombination dar

Question

Aufgabe:

Gleichung Lösen und als Linearkombinationen darstellen

Problem/Ansatz:

a) Lösen Sie die Gleichung x³-24x-72=0 in C.

b) Stellen Sie die komplexen Lösungen als Linearkombinationen der primitiven Einheitswurzeln e und e² dar, mit e = \( \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \)

Ich verstehe zwar die a noch und bekomme dafür, x=6,x=-3+i\( \sqrt{3} \),x=-3-i\( \sqrt{3} \)

Wie die Aufgabe b) funktioniert verstehe ich leider nicht. Würde mich sehr auf eine Antwort freuen:)

Answer 1

a) Lösen Sie die Gleichung \(x^3-24x-72=0 \)  ∈ ℂ.

\(x_1=6\) Kannst du mi Probieren finden. Es komme da die Teiler von 72 in Betracht.

\((x^3-24x-72):(x-6)=x^2+6x+12 \)

\(x^2+6x+12=0 \)

\(x^2+6x=-12 \)

\((x+3)^2=-12+3^2=-3=3i^2   | \sqrt{~~} \)

1.)

\(x+3=i* \sqrt{3} \)

\(x_2=-3+i* \sqrt{3} \)

2.)

\(x+3=-i* \sqrt{3} \)

\(x_3=-3-i* \sqrt{3} \)

Bei der b) kann ich dir leider nicht helfen.

Comments

soweit bin ich auch gekommen nur verstehe ich dann die B nicht

Answer 2

$$\begin{aligned}-3+\mathrm i\sqrt3&=p\cdot e+q\cdot e^2=p\cdot\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2+q\cdot\frac{-1-\mathrm i\sqrt3}2\\\iff-6+2\mathrm i\sqrt3&=(-p-q)+(p-q)\mathrm i\sqrt3.\end{aligned}$$Koeffizientenvergleich: \(-6=-p-q\) und \(2=p-q\). Lösung: \(p=4\) und \(q=2\).