Werte für Fourierkoeffizienten gesucht?

Question

Die unten dargestellte 2π -periodische Funktion hat die Fourierkoeffizienten a0, a1, b1 Element {-1,0,1}, die weiteren Koeffizienten sind irgendwelche reelle Zahlen.
Geben Sie die richtigen Werte an.

(a0)
(a1) = ?
(b1)

Ich bräuchte erst mal einen Ansatz, wie man das hier überhaupt macht. Danke.

Comments

Ist dieses Forum tot oder was

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Ist dieses Forum tot oder was

... es ist Samstag - normalerweise ist das Saure-Gurken-Zeit. Sonntag Abend ist hier mehr los, wenn alle ihre Matheaufgabe am Montagmorgen brauchen ;-)

Ich bräuchte erst mal einen Ansatz

Normalerweise berechnet man die Fourierkoeffizienten aus den entsprechenden Integralen. Hast Du den Verlauf obiger Kurve als Datensatz vorliegen?

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Ist dieser Patrick tot oder was ? ;-)

eine Stunde ist um. Bist Du nun an einer Lösung interessiert oder nicht? Für die Lösung braucht man einen Datensatz oder sonstige nummerische Beschreibung der blauen Kurve oben.

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@Werner-Salomon

Tut mir leid, falls das falsch rüber kam.

Ich habe dieses Forum nur aktiver in Erinnerung, kann aber auch daran liegen, dass es Samstag ist oder eben halt daran, dass die ganzen Prüfungen soweit ich weiß geschrieben sind und deshalb die Besucherzahlen gesunken sind. Das wiederum könnte dazu führen, dass auch wenige Lounger aktiv sind oder eben die Frage ist zu komplex :D

Nein, leider habe ich die Aufgabe nur so gegeben, wie sie oben dargestellt ist.

Nein, der Patrick lebt noch ;)
Der hatte aber auch schon gestern gefragt

Answer 1

Hallo Patrick,

ich habe mir inzwischen die Mühe gemacht - (auch weil ich wissen wollte, ob das tatsächlich funktioniert!) - die Graphik in einen Datensatz zu verwandeln. Und das ist dabei heraus gekommen:

Die 20 schwarzen Punkte $(x_i,\,y_i)$ sind die, die ich der Graphik entnommen habe, und der blaue Graph ist das Resultat. Die Koeffizienten sind:$$a_{k}=\left[0,\,-0.1712,\,0.1789,\,-0.1605,\,0.1030\right]\\ b_{k}=\left[1,\,-0.1308,\,0.16,\,-0.0889,\,-0.155\right]\quad k \in\{1\dots 5\}$$Die Berechnung geschieht nummerisch - ausgehend von dem bekannten Integral$$a_k = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} f(x) \cos(kx)\, \text{d}x \quad k \in\mathbb{N}_0\\ b_k = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} f(x) \sin(kx)\, \text{d}x \quad k\in\mathbb{N}$$habe ich in diesem Fall 20 Stützstellen ab $x_1=\pi/20$ gewählt, mit $x_{i+1} = x_i+\pi/10$. Und dann folgende Summen berechnet:$$a_k = \frac{1}{\pi} \left(\frac{2\pi}{20}\sum\limits_{i=1}^{20} y_i \cos(kx_i)\right) \\ \phantom{a_k} = \frac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{20} y_i \cos(kx_i) \\ b_k = \frac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{20} y_i \sin(kx_i)$$Das Ergebnis siehst Du oben. Der Vollständigkeit halber noch die $(x_i,\,y_i)$, die ich Deiner Graphik entnommen habe. Lass Dich von der Anzahl der Nachkommastellen nicht täuschen; das ist aus Pixeln berechnet.$$\begin{array}{}x_i& y_i\\\hline 0.1571& -0.536\\ 0.4712& -0.296\\ 0.7854& 0.248\\ 1.0996& 0.504\\ 1.4137& 0.264\\ 1.7279& 0.264\\ 2.0420& 0.76\\ 2.3562& 0.92\\ 2.6704& 0.2\\ 2.9845& -0.808\\ 3.2987& -1.224\\ 3.6128& -1.192\\ 3.9270& -1.192\\ 4.2412& -1.24\\ 4.5553& -1.176\\ 4.8695& -1.224\\ 5.1836& -1.416\\ 5.4978& -1.336\\ 5.8119& -0.92\\ 6.1261& -0.6\end{array}$$Gruß Werner

Comments

Okay, danke für die Mühen.

Die Lösungen wären wohl

(a0) = (-1)
(a1) = (0)
(b1) = (1)

gewesen

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Die Lösungen wären wohl

(a0) = (-1)
(a1) = (0)
(b1) = (1)

gewesen

Nö - das war gegeben. Siehe Aufgabenstellung.

Die Lösung sind die reellen Zahlen $a_k$ und $b_k$ ab $k=2$ (siehe oben).

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Ich habe die drei genannten Werte eingetragen und es hat es mir dadurch als korrekt angezeigt.

In der Aufgabenstellung steht doch auch ein "?".

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In der Aufgabenstellung steht doch auch ein "?".

Ja - und in der Aufgabenstellung steht vorher auch

... hat die Fourierkoeffizienten a0, a1, b1 Element {-1,0,1},

daraus schließe ich, dass die ersten drei Koeffizienten $a_0=-1$, $a_1=0$ und $b_1=1$ sind. Was ja auch passt. Aus meiner Berechnung folgen die Werte$$a_0 = -1,\quad a_1=-0.0095, \quad b_1=0.9989$$wenn man bedenkt, dass ich die Werte händisch Deiner Graphik entnommen habe, so kommt das doch sehr gut hin. Die sind ja nicht exakt! Den Unterschied kannst Du rein optisch gar nicht erkennen.

weiter steht dort:

... die weiteren Koeffizienten sind irgendwelche reelle Zahlen. Geben Sie die richtigen Werte an.

Ja - und das habe ich gemacht. Aus der Anzahl der lokalen Maxima kann man schließen, dass die Fourierreihe aus insgesamt fünf Gliedern besteht. Für diese fünf Glieder habe ich die Koeffizienten berechnet, wie oben gezeigt.

Um das nochmal klar zu stellen. Der blaue (oder lila) Graph in meiner Antwort ist NICHT eine Kopie aus Deiner Frage, sondern das Ergebnis der Funktion mit den berechneten Koeffizienten.

Hier nochmal zur Veranschaulichung. Die gelb gestrichelte Kurve ist der Graph der Fourierreihe mit den drei gegebenen Parametern. Und die blaue Kurve bewegt sich mit wachsender Auflösung von 2 bis 5 neuen Gliedern auf die gegebenen Punkte zu: