f aufgefasst als Abbildung von ℤ nach f(ℤ) injektiv?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Abbildung f : ℤ → ℕ ∪ {x}, m ↦( 2m + 1 falls m > 0; x falls m = 0; −(2m − 1) falls m < 0.)

i)      Bestimme das Bild f(ℤ) der Abbildung f und ob f surjektiv ist.
ii)     Berechnen Sie die Kardinalität der Urbilder f^-1(n) für beliebige Elemente n ∈ f(ℤ). Ist
      f aufgefasst als Abbildung von ℤ nach f(ℤ) injektiv?

iii)    Geben Sie eine Teilmenge M ⊂ ℤ an, sodass f|_M: M → f(ℤ) bijektiv wird.

Problem/Ansatz:

Hey,

kann mir jemand sagen ob meine lösungen richtig sind?

Lösung:

i)      f(ℤ)={...,-5,-3,-1,x,1,3,5,....,} ja ist surjektiv.

ii)     Jedes Urbild hat höchstens ein Element ⇒ kordinalität = höchstens 1 (≤1)

iii)    M={1,2,3,...n |n∈ℕ} ist eine Teilmenge, sodass f|_M: M → f(ℤ) bijektiv wird.

danke für die Hilfe.

Answer 1

f(ℤ)={...,-5,-3,-1,x,1,3,5,....,}

Das ist nicht richtig. Zum Beispiel gibt es kein \(n\in\mathbb{Z}\) mit \(f(n) = -3\).

ja ist surjektiv.

Das ist nicht richtig. Zum Beispiel gibt es kein \(n\in\mathbb{Z}\) mit \(f(n) = 2\).

Jedes Urbild hat höchstens ein Element

Das ist nicht richtig. Zum Beispiel hat \(f^{-1}(3)\) mehr als ein Element.

{1,2,3,...n |n∈ℕ}

Das ist keine gültige Notation für Mengen.

Mengen werden in der Form

        \(\{\text{[Term]} |\ \text{[Aussageform]}\}\)

notiert, wobei \(\text{[Term]}\) ein nicht allzu komplizierter Term ist und \(\text{[Aussageform]}\) eine Aussageform ist, in der nur die Variablen frei vorkommen, die auch in \(\text{[Term]}\) vorkommen.