Beweis, dass gleichmäßig stetig Lipschitz-stetig impliziert

Question

Aufgabe:

Es handelt sich um einen Zirkelbeiweis, in welchem lineare Operatoren bewiesen werden sollen.

Sei dazu X,Y normierte Räume und f: X→Y eine lineare Abbildung.

Gezeigt werden soll: ist f gleichmäßig stetig ⇒ f ist Lipschitz-stetig, also (∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈X: |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|<ε) ⇒ (∃L>0 ∀x,y∈X: |f(x)-f(y)|≤ L|x-y|)

Ich weiß, dass die Implikation eigentlich nur anders herum gilt, allerdings muss es auf Grund der Linearität der Abbildung auch in dieser Richtung gelten.

Ich weiß jedoch nicht, wie ich diese Implikation beweisen kann.

Ich bin über jede Hilfe dankbar!

Comments

Einfach kurz googeln. Wirst sofort fündig.

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Im Internet finde ich nur die Implikation

f ist Lipschitz-stetig ⇒ f ist gleichmäßig stetig.

Ich suche aber die andere Richtung.

Answer 1

Hallo,

die Linearität ist tatsächlich wichtig, damit die Implikation gilt. Aufgrund der Linearität können wir die "Lipschitz-Bedingung" ein wenig umformen (zumindest für \(x\neq y\)): $$\left|f(x)-f(y)\right|\leq L|x-y|\quad\Leftrightarrow \quad\left|f\left(\frac{x-y}{L|x-y|}\right)\right|\leq 1$$
Vergleiche das mal mit der gegebenen gleichmäßigen Stetigkeit für \(\varepsilon=1\) und \(y=0\). Siehst du wie du \(L\) in Abhängigkeit von \(\delta\) wählen kannst?
(Tipp: Was ist \(\left|\frac{x-y}{L|x-y|}\right|\)?)

LG Dojima

Comments

Ich sehe den Zusammenhang noch nicht ganz und weiß deshalb nicht, wie ich L wählen soll.

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Da \(f\) gleichmäßig stetig ist, gibt es ein \(\delta>0\) sodass für alle \(x,y\in X:\quad|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<1\). Insbesondere gilt also (da für \(y=0\) auch \(f(y)=0\)):$$|x|<\delta\Rightarrow|f(x)|<1$$
Das haben wir also gegeben. Nun habe ich oben gezeigt, dass wir ein \(L\) suchen, sodass für alle \(x\neq y\) gilt: $$\left|f\left(\frac{x-y}{L|x-y|}\right)\right|\leq1\tag{*}$$
Wenn wir jetzt wüssten, dass \(\left|\frac{x-y}{L|x-y|}\right|<\delta\) dann wäre (*) erfüllt. Die Frage ist also: können wir ein \(L>0\) finden, sodass \(\left|\frac{x-y}{L|x-y|}\right|<\delta\) tatsächlich für alle \(x\neq y\) gilt?
Rechne dazu \(\left|\frac{x-y}{L|x-y|}\right|\) aus und stelle die Ungleichung nach \(L\) um, dann sieht du wie du \(L\) wählen kannst.

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Dann müsste ja eigentlich L<δ? Ich kann doch den Betrag über den ganzen Bruch auch als Betrag über Zähler und Nenner schreiben. Dann kürzt sich |x-y| raus

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Fast. Es ist richtig, dass $$\left|\frac{x-y}{L|x-y|}\right|=\frac{1}{L}$$ Wir müssen \(L\) also so wählen, dass \(\frac{1}{L}<\delta\) bzw. \(L>\frac{1}{\delta}\).

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Also ist L<1/δ?

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Nein, gerade anders herum. \(L>\frac{1}{\delta}\), damit dann \(\frac{1}{L}<\delta\).
(Durch das Reziproke dreht sich das Relationszeichen um, vgl. z.B. \(\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\) und \(3>2\))